AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2011 — Remplacement, 16 septembre 2011

Loi binomiale et loi exponentielle, fonction logarithme et suite récurrente, plans et sphère, nombres complexes ou symétrie et congruences · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise des pannes de moteurs par une loi binomiale puis par une loi exponentielle, dont il calcule la durée de vie moyenne comme limite d'une intégrale. Le deuxième étudie $f(x) = x^2 + 4\ln x$ et son zéro $\alpha$ , approche $\alpha$ par la suite $u_{n+1} = \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}u_n^2}$ , puis montre qu'un seul point de la courbe de $2\ln x$ est le plus proche de l'origine. Le troisième démontre qu'un vecteur de coordonnées $(a, b, c)$ est normal au plan $ax + by + cz + d = 0$ , puis pose un QCM sur des plans, une droite et une sphère. Le dernier étudie l'application $z' = \frac{z - \mathrm{i}}{\overline{z} + \mathrm{i}}$ (non-spécialistes), ou l'écriture complexe d'une symétrie orthogonale et les points à coordonnées entières dont l'image l'est aussi, à l'aide de congruences modulo 13 (spécialistes).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi binomiale et loi exponentielle : pannes de moteurs et durée de vie moyenne p. 1

Lois de Bernoulli et binomiale · Loi exponentielle · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Intégrale sur un segment — loi binomiale, loi exponentielle, $\lambda = 0{,}128$ , probabilité conditionnelle, durée de vie moyenne, $F(t) = \int_0^t \lambda x\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x$

Exercice 2 — Fonction $x^2 + 4\ln x$ , suite récurrente approchant son zéro et point d'une courbe le plus proche de l'origine p. 1–3

Dérivabilité · Continuité · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Points fixes et suites itératives — $f(x) = x^2 + 4\ln x$ , théorème des valeurs intermédiaires, $g(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x^2}$ , suite récurrente, valeur approchée, distance minimale, tangente perpendiculaire

Exercice 3 — Vecteur normal à un plan (restitution de connaissances) et QCM sur plans, droite et sphère p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — restitution organisée de connaissances, vecteur normal, $2x - y + 3z = 0$ , position relative d'une droite et d'un plan, intersection d'une sphère et d'un plan, QCM

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Application $z' = \frac{z - \mathrm{i}}{\overline{z} + \mathrm{i}}$ : point invariant, module, argument et image d'une droite p. 4

Nombres complexes — conjugué, point invariant, module, angle orienté, cercle de centre $O$ et de rayon 1, image d'une droite

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Symétrie orthogonale en écriture complexe et points à coordonnées entières, congruences modulo 13 p. 4–5

Nombres complexes · Congruences et Z/nZ · PGCD, Bézout, Gauss · Géométrie affine et euclidienne — symétrie orthogonale, $z' = a\overline{z} + b$ , $z' = \frac{1}{13}(12 + 5\mathrm{i})\overline{z} + \frac{1}{13}(1 - 5\mathrm{i})$ , $5(x-1) = 12y$ , congruences modulo 13, points à coordonnées entières