AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2020 — Remplacement, 11 septembre 2020 (Métropole, La Réunion)

Fonction exponentielle et volume de révolution, loi normale, loi exponentielle et probabilités avec des complexes, plan et sphère dans l'espace, suite produit ou congruences, PGCD et matrices · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = \frac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ (asymptotes, dérivée, tangente), puis calcule par des primitives le volume $V(a) = \pi\int_0^a (f(x))^2\,\mathrm{d}x$ d'une flûte et teste la conformité d'un lot par un intervalle de fluctuation. Le deuxième combine la loi normale (réglage d'un écart type), la loi exponentielle (lecture graphique, durée moyenne, absence de mémoire) et un tirage dans deux urnes où l'on associe au résultat le nombre complexe $z = x + \mathrm{i}y$ . Le troisième établit la position relative d'un plan, d'une droite et d'une sphère dans l'espace. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite produit $v_n = u_1 \times u_2 \times \dots \times u_n$ et sa limite, et les spécialistes étudient les entiers $a_n = 6 \times 5^n - 2$ et $b_n = 3 \times 5^n + 1$ (PGCD, divisibilité par 7), corrigent un algorithme et relient ces entiers aux puissances d'une matrice.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $\frac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ , volume d'un solide de révolution par primitives, intervalle de fluctuation p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Statistique : estimation et tests · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ , asymptote horizontale, $V(a) = \pi\int_0^a (f(x))^2\,\mathrm{d}x$ , volume de révolution, primitive, intervalle de fluctuation, flûte

Exercice 2 — Loi normale, loi exponentielle et arbre pondéré associé à un nombre complexe p. 3–4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Loi exponentielle · Conditionnement et indépendance · Nombres complexes · Second degré — loi normale, loi exponentielle, durée de vie sans vieillissement, arbre pondéré, $z = x + \mathrm{i}y$ , $t^2 + 2t + 5 = 0$ , $z^{2020} = -2^{1010}$

Exercice 3 — Position relative d'un plan, d'une droite et d'une sphère p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, droite parallèle à un plan, projeté orthogonal, sphère, $(x-1)^2 + (y-9)^2 + z^2 = 36$ , représentation paramétrique

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite produit $v_n = u_1 \times \dots \times u_n$ : monotonie, convergence et limite p. 5–6

Suites numériques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — $u_n = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$ , $v_n = \frac{n+2}{2(n+1)}$ , suite décroissante minorée, raisonnement par récurrence, algorithme, $w_n = \sum_{k=1}^{n} \ln(u_k)$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Congruences, PGCD, correction d'un algorithme et puissances d'une matrice p. 6–7

Congruences et Z/nZ · PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Informatique et algorithmique · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — $a_n = 6 \times 5^n - 2$ , $b_n = 3 \times 5^n + 1$ , PGCD, divisibilité par 7, $X_{n+1} = AX_n$ , $X_n = A^n X_0$ , entiers premiers entre eux