AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2012 — Session normale, 16 novembre 2012

Fonction logarithme et suite récurrente, loi binomiale et temps d'attente, équations différentielles, complexes ou similitudes · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

L'exercice 1 étudie $f(x) = 5\ln(x+3) - x$ , localise l'unique zéro $\alpha$ de $f$ puis montre que la suite $u_{n+1} = 5\ln(u_n+3)$ , de premier terme 4, croît et converge vers $\alpha$ , avec un algorithme de seuil. L'exercice 2 compare un tirage avec remise de trois boules, modélisé par une loi binomiale, à une expérience où l'on s'arrête à la première boule rouge, en trois tirages au plus, dont on calcule les lois et les espérances. L'exercice 3 démontre la forme des solutions de $y' = ay + b$ puis examine trois affirmations sur des équations différentielles, dont un calcul d'aire. L'exercice 4 étudie soit la transformation $z' = \dfrac{2z-1}{2z-2}$ et l'image d'une droite, soit, en spécialité, des similitudes directes associées à deux carrés et à un quadrilatère.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithme, théorème des valeurs intermédiaires et suite récurrente associée p. 1–7

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Suites numériques · Informatique et algorithmique — $f(x) = 5\ln(x+3) - x$ , théorème des valeurs intermédiaires, $u_{n+1} = 5\ln(u_n+3)$ , point fixe $g(\alpha) = \alpha$ , raisonnement par récurrence, algorithme de seuil, construction graphique des termes

Exercice 2 — Loi binomiale et loi d'un temps d'arrêt dans des tirages avec remise p. 2–3

Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance — tirages avec remise, arbre pondéré, espérance, loi du nombre de tirages, proportion moyenne

Exercice 3 — Équation différentielle $y' = ay + b$ : restitution organisée de connaissances et vrai-faux p. 3–4

Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — restitution organisée de connaissances, $y' = ay + b$ , $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}$ , comportement en $+\infty$ , solutions de $y' = y$ , vrai ou faux

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Équation du second degré et transformation complexe p. 4–5

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne · Second degré — $z^2 - 2z + 2 = 0$ , $z' = \dfrac{2z-1}{2z-2}$ , $AM \times AM' = \frac{1}{2}$ , angles orientés, image d'une droite, construction géométrique

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Similitudes directes et écriture complexe p. 5–6

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — similitude directe, rotation, écriture complexe d'une similitude, centre d'une similitude, parallélogramme, translation