AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2016 — Remplacement, mars 2017

Aire entre une courbe exponentielle et une droite et dichotomie, vrai-faux (loi exponentielle, équation complexe), prise de décision, formule de Bayes et loi normale, convergence d'une suite récurrente, plan et tétraèdre dans l'espace · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ et une primitive, exprime l'aire $H(a)$ comprise entre la courbe et la droite $y = ax$ , justifie l'existence d'un unique $\alpha$ tel que $H(\alpha) = 0{,}5$ et l'encadre par un algorithme de dichotomie. Le deuxième exercice est un vrai-faux sur une loi exponentielle de durée de vie moyenne quatre ans et sur les solutions de $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ , et le troisième combine une prise de décision par intervalle de fluctuation, la formule de Bayes et la détermination de l'écart-type d'une loi normale. Le quatrième exercice demande de prouver la convergence de la suite $u_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n}$ , dont un tableur donne les premiers termes, et le cinquième, sans variante de spécialité dans ce document, étudie un plan, la nature et l'aire d'un triangle, un projeté orthogonal et le volume d'un tétraèdre.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Aire entre la courbe de $x \mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ et une droite, unicité d'une solution et dichotomie p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Continuité · Informatique et algorithmique · Dérivabilité — primitive $F(x) = (-x - 1)\mathrm{e}^{-x}$ , aire entre une courbe et une droite, $H(a) = a\ln(a) - \frac{1}{2}a(\ln(a))^2 + 1 - a$ , théorème des valeurs intermédiaires, algorithme de dichotomie, encadrement d'amplitude 0,01

Exercice 2 — Vrai-faux : loi exponentielle et équation complexe du troisième degré p. 3

Loi exponentielle · Nombres complexes · Second degré — vrai ou faux, durée de vie moyenne, probabilité conditionnelle, $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ , nature d'un triangle

Exercice 3 — Prise de décision par intervalle de fluctuation, formule de Bayes et écart-type d'une loi normale p. 3

Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens — intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, arbre pondéré, probabilité conditionnelle, variable centrée réduite $Z = \frac{T - 225}{\sigma}$ , détermination de $\sigma$

Exercice 4 — Convergence de la suite $u_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n}$ p. 4

Suites numériques — suite définie par récurrence, conjecture à partir d'un tableur, valeurs exactes des premiers termes, question ouverte, convergence

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Plan, aire d'un triangle, projeté orthogonal et volume d'un tétraèdre p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, nature d'un triangle, aire $\frac{\sqrt{1122}}{2}$ , projeté orthogonal, points non coplanaires, volume d'un tétraèdre