AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2025 — Jour 1 (remplacement), 2 septembre 2025

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, équations différentielles et modèle logistique, suite récurrente avec logarithme et Python, vrai-faux sur une intégrale, les coefficients binomiaux et la géométrie dans l'espace · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice compare les deux formations au permis de conduire par un arbre pondéré, une probabilité conditionnelle inverse et une recherche de proportion, puis étudie le nombre de réussites par une loi binomiale et applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la somme $Z = X + Y$ . Le deuxième compare deux modèles d'une population animale : l'équation $y' = 0{,}05y - 0{,}5$ , puis la fonction $f(x) = \frac{800}{1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x}}$ , solution d'une équation logistique, dont on étudie la limite, les variations et le point d'inflexion à l'aide de résultats de calcul formel. Le troisième fait conjecturer avec Python le comportement de la suite $u_{n+1} = 2 + \ln(u_n^2 - 3)$ , démontre par récurrence sa croissance et sa convergence, puis détermine sa limite comme solution de $f(x) = 0$ . Le quatrième est un vrai-faux sur une intégrale, une identité entre coefficients binomiaux et des droites et plans de l'espace.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, somme de variables indépendantes et inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse, proportion minimale, $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}747)$ , $Z = X + Y$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev, permis de conduire

Exercice 2 — Équation différentielle linéaire, modèle logistique, calcul formel, convexité et point d'inflexion p. 2–3

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Équations différentielles non linéaires · Limites de fonctions et asymptotes — $y' = 0{,}05y - 0{,}5$ , $y' = 0{,}05y(1 - 0{,}00125y)$ , $f(x) = \frac{800}{1 + 15\mathrm{e}^{-0{,}05x}}$ , calcul formel, asymptote horizontale, point d'inflexion, vitesse de croissance

Exercice 3 — Suite récurrente avec logarithme : conjectures en Python, récurrence, convergence et limite par le théorème des valeurs intermédiaires p. 4–5

Suites numériques · Informatique et algorithmique · Continuité · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme — $u_{n+1} = 2 + \ln(u_n^2 - 3)$ , listes Python, conjecture, $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$ , raisonnement par récurrence, théorème des valeurs intermédiaires, équation $f(\ell) = 0$

Exercice 4 — Vrai-faux : intégrale, coefficients binomiaux, droites et plans de l'espace p. 6

Intégrale sur un segment · Coefficients binomiaux · Géométrie vectorielle dans l'espace · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, $\int_1^{\mathrm{e}} x\ln(x)\,\mathrm{d}x$ , identité entre $n\binom{n-1}{k-1}$ et $k\binom{n}{k}$ , appartenance d'un point à une droite, position relative de deux droites, plan médiateur