AnnalesBaccalauréat

Bac Pondichéry Terminale 2016 — Session normale, 22 avril 2016

Loi normale et réponse aléatorisée avec intervalle de confiance, construction du pentagone régulier par les complexes, section d'un cube et distance minimale ou équation diophantienne et codage matriciel, rectangle sous une courbe logarithme, stérilisation par suite et intégrale · 9 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine l'écart-type d'une loi normale du temps de connexion, puis exploite un protocole de réponse aléatorisée par un dé, un arbre pondéré et un intervalle de confiance. Le deuxième exercice justifie par les nombres complexes et la valeur de $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$ une construction à la règle et au compas du pentagone régulier. Au choix, les non-spécialistes construisent la section d'un cube par le plan $(IJK)$ , en obtiennent une équation grâce au vecteur normal $\overrightarrow{AG}$ et minimisent une distance, et les spécialistes résolvent l'équation $3a - 5b = 3$ puis codent et décodent des mots avec une matrice $2 \times 2$ et l'inverse de 3 modulo 26. Le quatrième exercice étudie l'aire d'un rectangle construit sur la courbe de $f(x) = 2 - \ln\left(\frac{x}{2}\right)$ , et le cinquième la température d'une boîte de conserve, d'abord par la suite $T_n = 100 - 75 \times 0{,}85^n$ , puis par $f(t) = 100 - 75\mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t}$ et une aire exprimée par une intégrale.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi normale et protocole de réponse aléatorisée : arbre pondéré et intervalle de confiance p. 1–2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Conditionnement et indépendance · Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes — symétrie de la loi normale, détermination de $\sigma$ , arbre pondéré, $q = \frac{1}{2}p + \frac{1}{6}$ , intervalle de confiance à 95 %, réponse aléatorisée

Exercice 2 — Construction à la règle et au compas du pentagone régulier par les nombres complexes p. 2–3

Nombres complexes · Constructions à la règle et au compas · Fonctions trigonométriques — pentagone régulier, forme exponentielle, $BA_2^2 = 2 + 2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$ , calcul formel, construction à la règle et au compas

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Section d'un cube, vecteur normal et distance minimale p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — section d'un cube, vecteur normal $\overrightarrow{AG}$ , équation cartésienne d'un plan, $MI^2 = 3t^2 - 3t + \frac{5}{4}$ , distance minimale, droite perpendiculaire à deux droites

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation $3a - 5b = 3$ et codage par une matrice $2 \times 2$ p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Cryptographie — déterminant, matrice inverse, théorème de Gauss, équation diophantienne, codage matriciel, inverse de 3 modulo 26, décodage

Exercice 4 — Aire maximale d'un rectangle construit sur la courbe de $x \mapsto 2 - \ln\left(\frac{x}{2}\right)$ p. 5–6

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Extrema et optimisation — question ouverte, aire d'un rectangle, projeté orthogonal, maximum d'une fonction, logarithme népérien

Exercice 5 — Stérilisation : suite arithmético-géométrique, fonction exponentielle et aire p. 6–7

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique — algorithme avec boucle Pour, $T_n = 100 - 75 \times 0{,}85^n$ , raisonnement par récurrence, $f(t) = 100 - 75\mathrm{e}^{-\frac{\ln 5}{10}t}$ , aire entre une courbe et une droite, lecture graphique d'une aire