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CAPES externe 2012 — Écrit disciplinaire

Continuité uniforme ; marches aléatoires ; équation de Pell-Fermat · 6 pages

Le premier problème étudie la continuité uniforme : fonctions lipschitziennes, exemples ( $1/(1 + |x|)$ , racine carrée uniformément continue mais non lipschitzienne, $x^2$ non uniformément continue), majoration affine d'une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}_+$ , puis démonstration du théorème de Heine par Bolzano-Weierstrass. Le deuxième établit des estimations sur $H_n$ , sur la suite $a_n = \sqrt{n}\,\binom{2n}{n}/4^n$ (croissante, de limite $1/\sqrt{\pi}$ grâce à Stirling) et en déduit que le nombre moyen de retours à l'origine avant l'instant $2n$ d'une marche aléatoire simple est équivalent à une constante fois $\sqrt{n}$ sur la droite et à $\ln(n)/\pi$ dans le plan. Le troisième ramène l'égalité $1 + \dots + m = m + \dots + n$ à l'équation $x^2 - 2y^2 = 1$ et montre que ses solutions sont exactement les $(x_n, y_n)$ définis par $(3 + 2\sqrt{2})^n = x_n + y_n\sqrt{2}$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Continuité uniforme p. 2–3

Continuité · Compacité · Suites numériques · Dérivabilité — continuité uniforme, fonction lipschitzienne, théorème de Heine, suites extraites, Bolzano-Weierstrass, négation d'une proposition quantifiée, majoration affine

Problème 2, Partie A — Quelques résultats d'analyse p. 3–4

Comparaison série-intégrale · Formule de Stirling · Suites numériques · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux · Séries numériques — série harmonique, équivalent de $H_n$ , coefficient binomial central, formule de Stirling, suite croissante majorée, série des inverses des carrés

Problème 2, Parties B et C — Marches aléatoires sur une droite et sur un plan p. 5

Marches aléatoires · Espérance, variance, moments · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux · Variables aléatoires et lois usuelles — marche aléatoire simple, retour à l'origine, nombre de passages en $O$ , linéarité de l'espérance, variable indicatrice, équivalent de l'espérance, marche aléatoire dans le plan

Problème 3 — Équation de Pell-Fermat p. 6

Équation de Pell-Fermat · Informatique et algorithmique · Suites numériques · Irrationalité et approximation diophantienne — équation de Pell-Fermat, $x^2 - 2y^2 = 1$ , puissances de $3 + 2\sqrt{2}$ , solution fondamentale, descente infinie, algorithme de recherche, nombres triangulaires