AnnalesEnseignement

CAPES externe 2021 — Écrit disciplinaire

Nombres harmoniques, problème de Bâle et problème du collectionneur · 8 pages

Le sujet encadre les nombres harmoniques $H_n$ par comparaison avec une intégrale, en déduit $H_n \sim \ln n$ et définit la constante d'Euler $\gamma$ par deux suites adjacentes. Il établit ensuite la formule d'Euler $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ à l'aide du noyau de Dirichlet et du lemme de Riemann-Lebesgue, étudie les lois géométriques et démontre les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Il applique enfin ces outils au problème du collectionneur : $E(T_n) = nH_n$ et majoration de la probabilité d'un écart à la moyenne.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Étude des nombres harmoniques p. 3

Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Suites numériques · Informatique et algorithmique — nombres harmoniques, constante d'Euler, suites adjacentes, série harmonique, programme Python

Partie B — Le problème de Bâle p. 4–5

Fonction zêta de Riemann · Intégrale sur un segment · Séries numériques · Convergence des séries de Fourier · Nombres complexes · Dérivabilité — problème de Bâle, noyau de Dirichlet, intégration par parties, lemme de Riemann-Lebesgue, somme des $1/k^2$

Partie C — Les lois géométriques p. 5–6

Loi géométrique · Espérance, variance, moments · Séries entières · Couples et sommes de variables aléatoires — loi géométrique, série géométrique dérivée, espérance, variance, somme de variables indépendantes

Partie D — Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev p. 6

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments — inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie E — Le problème du collectionneur p. 7–8

Loi géométrique · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Couples et sommes de variables aléatoires · Équivalents et comparaison · Espérance, variance, moments — problème du collectionneur, temps d'attente, espérance $nH_n$ , variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev