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CCINP MP 2015 — Maths 2

Écriture en base $b$ en Python ; projection orthogonale dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ; surjectivité de l'exponentielle de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ vers $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

L'exercice d'informatique étudie en Python l'algorithme de décomposition d'un entier en base $b$ (terminaison, nombre d'itérations) et la somme des chiffres, en version itérative et récursive. Le deuxième exercice calcule la projection orthogonale d'une matrice sur les matrices triangulaires supérieures pour le produit scalaire $\operatorname{trace}({}^t\!A B)$ . Le problème montre, pour une matrice réelle inversible $A$ d'ordre 3, l'existence de racines $p$ -ièmes et d'un logarithme complexes : on interpole les coefficients de $A^n$ par des fonctions $\gamma(t)$ du type $t^k \rho^t e^{i\theta t}$ obtenues par division de $X^n$ par le polynôme caractéristique, on montre que $\gamma(x + y) = \gamma(x)\gamma(y)$ , puis que $\exp(\gamma'(0)) = A$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Informatique p. 2–3

Informatique et algorithmique · Numération et écriture en base b — Python, décomposition en base 2, terminaison d'une boucle, nombre d'itérations, somme des chiffres, fonction récursive

Exercice II — Projection orthogonale p. 3

Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Calcul matriciel — produit scalaire canonique sur les matrices, trace, matrices triangulaires supérieures, base orthonormée, orthogonal d'un sous-espace, distance à un sous-espace

Problème III, Partie préliminaire et Première partie — Norme d'algèbre et exponentielle p. 4

Exponentielle de matrices · Topologie des espaces de matrices · Trigonalisation · Déterminants · Espaces vectoriels normés — norme d'algèbre, série absolument convergente, exponentielle de matrice, déterminant de l'exponentielle, trace, racine carrée d'une matrice

Problème III, Objectifs et Deuxième partie — Interpolation des puissances de $A$ p. 5–7

Exponentielle de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes d'endomorphismes · Systèmes différentiels linéaires · Suites récurrentes linéaires · Polynômes · Nombres complexes — division euclidienne par le polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton, racine $p$ -ième d'une matrice, logarithme de matrice, équation fonctionnelle $\gamma(x+y) = \gamma(x)\gamma(y)$ , équation différentielle matricielle

Problème III, Troisième partie — Exemple p. 7

Exponentielle de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation · Calcul matriciel — polynôme caractéristique, matrice non diagonalisable, inverse d'une matrice, racine carrée d'une matrice, logarithme de matrice