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CCINP MP 2023 — Maths 1

Graphes en Python et SQL, point critique, intégrale de $x^{\alpha-1}/(1+x)$ et formule des compléments · 8 pages

Un exercice d'informatique manipule des matrices d'adjacence et des distances dans un graphe, avec des requêtes SQL, et un exercice de calcul différentiel étudie le point critique unique de $f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 + e^{-x}$ à l'aide de la hessienne. Le problème calcule, pour $\alpha$ dans $\left]0, 1\right[$ , l'intégrale de $x^{\alpha-1}/(1+x)$ sur $\left]0, +\infty\right[$ en la développant en série et trouve $\pi/\sin(\alpha\pi)$ , puis relie cette intégrale à la fonction Gamma par une intégrale à paramètre solution d'une équation différentielle linéaire, ce qui conduit à la formule des compléments $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \pi/\sin(\alpha\pi)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Matrices d'adjacence, distances dans un graphe et requêtes SQL p. 2

Informatique et algorithmique · Graphes · Calcul matriciel — matrice d'adjacence, distance dans un graphe, programmation Python, requête SQL, base de données

Exercice II — Point critique d'une fonction de deux variables p. 3

Points critiques et hessienne · Continuité · Dérivabilité — point critique, matrice hessienne, extremum local, équation $e^{-x} = x$ , théorème des valeurs intermédiaires

Problème, Partie I — Calcul d'une intégrale à l'aide d'une série p. 3–4

Intégrales généralisées et intégrabilité · Interversion des limites · Convergence dominée · Séries numériques · Convergence uniforme et normale · Séries de Fourier — intégration terme à terme, convergence non uniforme, théorème de convergence dominée, série alternée, intégrale de $x^{\alpha-1}/(1+x)$ , $\pi/\sin(\alpha\pi)$

Problème, Partie II — Lien avec la fonction Gamma p. 4–5

Intégrales à paramètre · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée — fonction Gamma, intégrale à paramètre, continuité sous l'intégrale, dérivation sous l'intégrale, domination, limite en $+\infty$

Problème, Partie III — Vers la formule des compléments p. 5

Fonctions Gamma et Bêta · Équations différentielles linéaires · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité — formule des compléments, équation différentielle linéaire d'ordre 1, variation de la constante, intégrale de Gauss, $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)$