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CCINP MP 2026 — Maths 1

Fonctions génératrices, intégrale à paramètre et formule sommatoire de Poisson · 4 pages

Après un exercice de requêtes SQL et un exercice sur la fonction génératrice de la loi de Poisson (stabilité par somme de variables indépendantes), le problème étudie $g(x) = \int x\,e^{it}/(x^2+t^2)\,\mathrm{d}t$ , solution de $y'' - y = 0$ . Il établit ensuite la formule sommatoire de Poisson pour $f(t) = 1/(1+t^2)$ en calculant les coefficients de Fourier de la périodisée $F$ et en obtenant une forme close de $F$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Requêtes SQL p. 2

Informatique et algorithmique — SQL, requête, jointure, DISTINCT, agrégation

Exercice II — Fonction génératrice et loi de Poisson p. 2

Fonctions génératrices · Loi de Poisson · Couples et sommes de variables aléatoires · Séries entières — fonction génératrice, loi de Poisson, produit de Cauchy, variables indépendantes, somme de variables de Poisson

Problème, Partie I — Une intégrale à paramètre p. 3

Intégrales à paramètre · Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale à paramètre, changement de variable, domination, classe $\mathcal{C}^2$ , équation $y'' - y = 0$

Partie II — Formule sommatoire de Poisson p. 3–4

Séries de Fourier · Suites et séries de fonctions · Convergence uniforme et normale · Intégrales généralisées et intégrabilité — formule sommatoire de Poisson, fonction périodisée, coefficients de Fourier, convergence normale

Partie III — Calcul des coefficients et forme close p. 4

Séries de Fourier · Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence des séries de Fourier — transformée de Fourier, coefficients de Fourier, unicité des coefficients, série de Fourier, formule sommatoire de Poisson

Dans l'édifice

Théorème de définition par récurrence Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel