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CCINP MPI 2026 — Maths 1

Requêtes SQL, fonctions génératrices et formule sommatoire de Poisson · 4 pages

Deux exercices ouvrent le sujet : des requêtes SQL sur une base de données, puis le calcul par fonctions génératrices de la loi d'une somme de variables de Poisson indépendantes. Le problème calcule d'abord l'intégrale à paramètre $g(x) = \int x\,e^{it}/(x^2 + t^2)\,\mathrm{d}t$ sur $\mathbb{R}$ en montrant qu'elle vérifie $y'' = y$ , ce qui fournit la transformée de Fourier de $1/(1+t^2)$ . Il étudie ensuite la fonction $1$ -périodique $F(x) = \sum 1/(1 + (x+n)^2)$ , somme sur $n \in \mathbb{Z}$ , et ses coefficients de Fourier, puis établit pour cette fonction la formule sommatoire de Poisson $F = G$ et en déduit la valeur explicite de $F(x)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Requêtes SQL p. 2

Informatique et algorithmique — requête SQL, base de données, jointure, agrégation, doublons

Exercice II — Fonctions génératrices p. 2

Fonctions génératrices · Loi de Poisson · Familles sommables et produit de Cauchy · Couples et sommes de variables aléatoires — fonction génératrice, produit de Cauchy, somme de lois de Poisson indépendantes

Problème, Partie I — Calcul d'une intégrale p. 3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations linéaires d'ordre 2 · Convergence dominée · Transformées de Fourier et de Laplace — intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, équation $y'' = y$ , changement de variable

Problème, Partie II — Formule sommatoire de Poisson p. 3–4

Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites — fonction $1$ -périodique, coefficients de Fourier, série de fonctions, formule sommatoire de Poisson

Problème, Partie III — Applications p. 4

Séries de Fourier · Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence des séries de Fourier — formule sommatoire de Poisson, transformée de Fourier, unicité des coefficients de Fourier

Dans l'édifice

Théorème de définition par récurrence Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle La demi-droite achevée et les sommes positives Indépendance d'événements et de tribus Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe