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CCINP PSI 2013 — Mathématiques

Calcul d'une intégrale à l'aide de l'intégrale de Gauss · 4 pages

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Le sujet étudie $f(x)$ , intégrale de $0$ à $x$ de $e^{-t^2}$ : régularité, dérivées de la forme $p_n(x)e^{-x^2}$ , développement en série entière, puis calcul de sa limite $\Delta$ en $+\infty$ par un encadrement faisant intervenir les intégrales de Wallis. Il calcule ensuite $h(b)$ , intégrale de $\cos(2bt)e^{-t^2}$ , par une intégrale curviligne d'une forme différentielle exacte sur le bord d'un rectangle, et $\varphi(x)$ , intégrale de $\exp(-t^2 - x^2/t^2)$ , via une équation différentielle. Il en déduit la valeur de $\psi(x)$ , intégrale sur $\left[0, +\infty\right[$ de $\cos(2xt)/(1 + t^2)$ , par interversion de limites et d'intégrales.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude d'une fonction et de sa limite p. 2–3

Fonctions spéciales · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Inégalités classiques — intégrale de Gauss, intégrales de Wallis, dérivées successives, développement en série entière, inégalité $\exp(u) \geqslant 1 + u$ , encadrement

Partie II — Étude de deux fonctions p. 3–4

Formes différentielles et intégrales curvilignes · Intégrales à paramètre · Équations différentielles linéaires · Transformées de Fourier et de Laplace · Fonctions spéciales — forme différentielle exacte, intégrale curviligne, bord d'un rectangle, transformée de Fourier de la gaussienne, dérivation sous le signe intégrale, équation différentielle linéaire

Partie III — Calcul d'une intégrale p. 4

Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Transformées de Fourier et de Laplace — intégrale de $\cos(2xt)/(1+t^2)$ , interversion des intégrales, suite de fonctions, convergence simple, intégrale de Laplace

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongement Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Formes différentielles et différentielle extérieure Intégrale d'une forme de degré 1 le long d'un chemin Lemme de Poincaré Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel