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CCINP PSI 2013 — Maths 2

Matrices de Hilbert · 8 pages

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Le sujet définit sur les matrices symétriques la norme $N(A) = \sup |(Ax \mid x)|$ sur la sphère unité et l'identifie, par le théorème spectral, au plus grand module des valeurs propres. Il l'applique à la matrice de Hilbert $H_n$ de coefficients $1/(j + k - 1)$ : écriture de $q_n(x)$ comme intégrale de $Q(t)^2$ , positivité définie, encadrement du spectre dans $\left]0, \pi\right[$ par une intégrale sur le demi-cercle, limite nulle de la plus petite valeur propre, puis limite $\pi$ de $N(H_n)$ grâce à une intégrale double équivalente à $(\pi/4) \ln n$ . Il calcule enfin $\det(H_n)$ par une décomposition en éléments simples et montre que $1/\det(H_n)$ est un entier.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Une norme sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ p. 1–4

Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème spectral · Espaces vectoriels normés · Compacité · Déterminants — forme quadratique associée, sphère unité, matrice antisymétrique, norme sur les matrices symétriques, valeurs propres extrêmes, bornes atteintes

Partie II — Sur les valeurs propres de $H_n$ p. 4–6

Matrices remarquables · Matrices symétriques positives · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Intégrale sur un segment · Nombres complexes · Polynômes — matrice de Hilbert, matrice définie positive, intégrale sur le demi-cercle, inégalité de Hilbert, plus petite valeur propre, plus grande valeur propre

Partie III — Limite de $N(H_n)$ grâce à une intégrale double p. 6–7

Intégrales multiples · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Matrices remarquables — intégrale double, changement de variables, arctangente, équivalent logarithmique, norme de la matrice de Hilbert

Partie IV — Sur le déterminant de $H_n$ p. 7–8

Déterminants · Fractions rationnelles · Coefficients binomiaux · Matrices remarquables — déterminant de Hilbert, décomposition en éléments simples, coefficient binomial central, produit de factorielles, relation de récurrence

CCINP PSI 2013 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Une norme sur 𝒮n(ℝ)\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) p. 1–4

Partie II — Sur les valeurs propres de HnH_n p. 4–6

Partie III — Limite de N(Hn)N(H_n) grâce à une intégrale double p. 6–7

Partie IV — Sur le déterminant de HnH_n p. 7–8

Dans l'édifice

Notations et Partie I — Une norme sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ p. 1–4

Partie II — Sur les valeurs propres de $H_n$ p. 4–6

Partie III — Limite de $N(H_n)$ grâce à une intégrale double p. 6–7

Partie IV — Sur le déterminant de $H_n$ p. 7–8