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CCINP PSI 2023 — Mathématiques

Fonction de Bessel, marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ et puissances de matrices · 8 pages

L'exercice montre que $f(x) = \int_0^\pi \cos(x \sin t)\,\mathrm{d}t$ est solution de $xy''+y'+xy = 0$ et développable en série entière, ce qui fait intervenir les intégrales de Wallis. Le premier problème étudie la marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$ : probabilité de retour à l'origine, équivalent par la formule de Stirling et espérance du nombre de passages par l'origine via le développement de $1/\sqrt{1-x}$ . Le second établit que $A^k$ tend vers $0$ lorsque toutes les valeurs propres de $A$ sont de module strictement inférieur à $1$ , d'abord sur des matrices explicites $M(a,b)$ , puis en général, et l'applique à la convergence de la méthode de Gauss-Seidel pour une matrice à diagonale strictement dominante.

Le sujet, partie par partie

Exercice — Fonction de Bessel p. 2

Intégrales à paramètre · Fonctions de Bessel · Séries entières · Équations linéaires d'ordre 2 · Interversion des limites — équation de Bessel, intégrales de Wallis, interversion série-intégrale, dérivation sous l'intégrale

Problème 1, Partie I — Un développement en série entière p. 3

Séries entières · Coefficients binomiaux — développement de $(1+x)^\alpha$ , développement de $1/\sqrt{1-x}$

Problème 1, Parties II et III — Retours et passages par l'origine p. 3–4

Marches aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Formule de Stirling · Espérance, variance, moments · Équivalents et comparaison · Séries entières — marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ , probabilité de retour à l'origine, formule de Stirling, nombre moyen de passages, récurrence et transience

Problème 2, Partie I — Diagonalisation et puissances de $M(a,b)$ p. 5–6

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Matrices remarquables — polynôme annulateur, division euclidienne de $X^k$ , puissances d'une matrice, polynôme caractéristique

Problème 2, Partie II — Limite des puissances d'une matrice p. 6

Rayon spectral · Trigonalisation · Espaces vectoriels normés — matrice triangulaire, valeurs propres de module strictement inférieur à $1$ , convergence de $A^k$ vers $0$

Problème 2, Partie III — Méthode de Gauss-Seidel p. 7–8

Analyse numérique · Rayon spectral · Matrices remarquables · Réduction des endomorphismes — méthode de Gauss-Seidel, matrice à diagonale strictement dominante, méthode itérative, système linéaire