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Centrale-Supélec MP 2022 — Maths 2

Dérivation des séries de fonctions, déterministes et aléatoires · 4 pages

Le sujet démontre une inégalité d'interpolation contrôlant les dérivées intermédiaires d'une fonction de classe $\mathcal{C}^K$ par sa dérivée $K$ -ième et ses valeurs en $K$ points, grâce aux polynômes de Lagrange et au théorème de Rolle. Il en déduit qu'une série de fonctions est de classe $\mathcal{C}^K$ dès que la série des dérivées $K$ -ièmes converge normalement et que les séries des valeurs en $K$ points convergent absolument. Une partie probabiliste prouve, via l'inégalité maximale de Lévy et un argument de type Borel-Cantelli, que la série de Rademacher $\sum X_n a_n$ converge presque sûrement lorsque $\sum a_n^2$ converge, puis applique ce résultat aux séries aléatoires de fonctions.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Inégalités d'interpolation des dérivées p. 1–2

Interpolation polynomiale · Dérivabilité · Applications linéaires et rang · Inégalités classiques — inégalité d'interpolation, polynômes de Lagrange, théorème de Rolle, norme infinie, accroissements finis

Partie II — Dérivation $\mathcal{C}^K$ pour les séries de fonctions p. 2

Interversion des limites · Convergence uniforme et normale · Séries numériques · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — dérivation terme à terme, convergence normale des dérivées, série de fonctions de classe $\mathcal{C}^K$ , changement de variable affine

Partie III — Convergence d'une série aléatoire de Rademacher p. 3–4

Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Séries numériques · Conditionnement et indépendance — variables de Rademacher, inégalité maximale de Lévy, série aléatoire, convergence presque sûre, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Borel-Cantelli

Partie IV — Dérivation $\mathcal{C}^K$ pour des séries aléatoires de fonctions p. 4

Interversion des limites · Convergence uniforme et normale · Interpolation polynomiale · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Séries numériques — série aléatoire de fonctions, convergence uniforme presque sûre, dérivation terme à terme, polynôme d'interpolation

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Dérivabilité Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Une série entière est holomorphe Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Lemmes de Borel-Cantelli Loi du 0-1 de Kolmogorov Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne