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Centrale-Supélec PC 2015 — Maths 2

Fonctions test et distributions sur $\mathcal{D}$ · 3 pages

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Le sujet construit la fonction plateau $\varphi(x) = \exp(-x^2/(1-x^2))$ sur $\left]-1, 1\right[$ , en déduit une suite régularisante $\rho_n$ et étudie les régularisées par convolution de l'indicatrice de $[-1, 1]$ , puis introduit l'espace $\mathcal{S}$ des fonctions à décroissance rapide. Il définit ensuite les distributions sur $\mathcal{D}$ , les distributions régulières, la masse de Dirac et la dérivation au sens des distributions, établit la formule des sauts $T_f' = T_{f'} + \sum \sigma(a_i) \delta_{a_i}$ et étudie la convergence de suites de distributions : dérivées des $T_{U_n}$ , qui tendent vers $\delta_0$ , puis suites associées à $n/(1 + n^2x^2)$ , à $nx^n$ sur $[0, 1]$ et à $n^2 \sin(nx)$ sur $[-\pi/n, \pi/n]$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude de nouveaux espaces fonctionnels p. 1–2

Intégrales à paramètre · Dérivabilité · Convergence uniforme et normale · Distributions · Transformées de Fourier et de Laplace · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Espaces vectoriels et dimension — fonction plateau, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ à support compact, suite régularisante, produit de convolution, fonctions à décroissance rapide, espace de Schwartz

Partie II — Espace des distributions sur $\mathcal{D}$ p. 2–3

Distributions · Intégrale sur un segment · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale — masse de Dirac, distribution régulière, dérivée au sens des distributions, fonction de Heaviside, formule des sauts, convergence au sens des distributions, approximation de Dirac

Centrale-Supélec PC 2015 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude de nouveaux espaces fonctionnels p. 1–2

Partie II — Espace des distributions sur 𝒟\mathcal{D} p. 2–3

Dans l'édifice

Partie II — Espace des distributions sur $\mathcal{D}$ p. 2–3