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Centrale-Supélec PC 2016 — Maths 1

Fonction Gamma, une transformée de Fourier et loi de Poisson · 3 pages

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Le sujet étudie d'abord la fonction Gamma d'Euler : domaine, relation fonctionnelle, classe $\mathcal{C}^\infty$ et variations avec un unique point critique. Il calcule ensuite la transformée de Fourier $F(x)$ , intégrale sur $\left]0, +\infty\right[$ de $e^{-t} t^{-3/4} e^{ixt}$ , par son développement en série entière puis par une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Enfin, pour une somme $S_n$ de $n$ variables de Poisson indépendantes, il démontre à la main un théorème central limite pour la loi de Poisson (convergence de la loi de la variable centrée réduite $T_n$ vers la loi normale via la formule de Stirling et des sommes de Riemann), en déduit la valeur de l'intégrale de Gauss et des équivalents des sommes partielles de la série exponentielle de $(n\lambda)^k / k!$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Autour de la fonction Gamma d'Euler p. 1

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions convexes — fonction Gamma, relation $\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)$ , domination sur un segment, dérivées successives sous l'intégrale, minimum de Gamma

Partie II — Une transformée de Fourier p. 1–2

Intégrales à paramètre · Transformées de Fourier et de Laplace · Séries entières · Fonctions Gamma et Bêta · Équations différentielles linéaires · Développements limités · Formule de Stirling — transformée de Fourier, rayon de convergence, convergence absolue au bord, équation différentielle linéaire d'ordre 1, développement limité, logarithme complexe

Partie III, sous-parties A et B — Loi de Poisson et sommes indépendantes p. 2

Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires — série génératrice, somme de variables de Poisson indépendantes, variable centrée réduite, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie III, sous-parties C à F — Théorème central limite poissonien et équivalents p. 2–3

Théorème central limite et convergence en loi · Formule de Stirling · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Loi de Poisson · Fonctions spéciales · Équivalents et comparaison · Dérivabilité — théorème central limite poissonien, approximation normale de la loi de Poisson, intégrale de Gauss, formule de Taylor avec reste intégral, sommes partielles de l'exponentielle, fonction lipschitzienne