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Centrale-Supélec PSI 2015 — Maths 1

Processus de Galton-Watson · 4 pages

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Le sujet étudie d'abord la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , $u_0 = 0$ , pour $f$ convexe croissante avec $f(1) = 1$ : convergence vers le plus petit point fixe et vitesse ( $1 - u_n \sim 2/(f''(1)n)$ si $m = f'(1) = 1$ , $1 - u_n \sim c\, m^n$ si $m < 1$ ). Il établit la formule de Wald $G_S = G_T \circ G_X$ pour une somme d'un nombre aléatoire de variables, puis l'applique au processus de Galton-Watson : probabilité d'extinction, temps d'extinction en cas sous-critique, loi de la taille totale $Z$ de la lignée ( $G_Z(s) = s f(G_Z(s))$ ), exemple explicite avec la loi géométrique $p_k = 1/2^{k+1}$ , et, en cas surcritique, dichotomie extinction ou divergence vers l'infini.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude d'une suite récurrente p. 1

Suites numériques · Équivalents et comparaison · Fonctions convexes · Points fixes et suites itératives · Séries numériques · Procédés de sommation et théorèmes taubériens — suite récurrente, plus petit point fixe, lemme de Cesàro, fonction convexe, vitesse de convergence, équivalent

Partie II — Formule de Wald p. 1–2

Fonctions génératrices · Couples et sommes de variables aléatoires · Loi de Poisson · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments — formule de Wald, fonction génératrice, somme d'un nombre aléatoire de variables, indépendance, loi de Poisson, composition de fonctions génératrices

Partie III — Processus de Galton-Watson p. 2–3

Processus de branchement et urnes · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Convergence uniforme et normale · Séries entières — processus de Galton-Watson, probabilité d'extinction, cas sous-critique, temps d'extinction, taille totale de la lignée, équation fonctionnelle de la fonction génératrice

Partie IV — Un exemple p. 3

Processus de branchement et urnes · Fonctions génératrices · Loi géométrique · Suites numériques — loi géométrique, suite arithmétique, itérées d'une homographie, loi de la taille de la lignée

Partie V — Cas surcritique p. 4

Processus de branchement et urnes · Fonctions génératrices · Espaces probabilisés · Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques — cas surcritique, temps de premier retour, temps de $r$ -ième passage, extinction ou explosion, événements presque sûrs