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Centrale-Supélec PSI 2017 — Maths 2

Théorie de Floquet · 4 pages

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Le sujet étudie les systèmes linéaires à coefficients périodiques. Pour la récurrence d'ordre 2 $b(k) z(k+1) + a(k) z(k) + b(k-1) z(k-1) = 0$ à coefficients $p$ -périodiques, la matrice de monodromie $Q$ est de déterminant 1 et l'existence d'une solution $p$ -périodique équivaut à $\operatorname{tr}(Q) = 2$ ; toutes les solutions sont bornées si $|\operatorname{tr} Q| < 2$ . Il généralise au cas vectoriel $Y(k+1) = A(k) Y(k)$ avec la factorisation $\Phi(k) = P(k) B^k$ , traite le système différentiel $X' = A(t)X$ à coefficients $T$ -périodiques (multiplicateurs de Floquet, $\rho_1\rho_2 = \exp \int \operatorname{tr} A$ ), et prouve enfin que toute matrice inversible complexe admet une racine $p$ -ième.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Préliminaire p. 1

Suites numériques · Espaces vectoriels normés · Topologie des espaces de matrices — suite périodique, norme infinie, norme du max des coefficients, majoration $\|AB\|_0 \leqslant n\|A\|_0\|B\|_0$

Partie II — Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients périodiques p. 1–2

Suites récurrentes linéaires · Réduction des endomorphismes · Déterminants · Trigonalisation · Racines et relations coefficients-racines — récurrence linéaire d'ordre 2, coefficients périodiques, wronskien discret, matrice de monodromie, solution périodique, solution non bornée, trace et déterminant

Partie III — Généralisation aux suites vectorielles p. 2–3

Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Racines et relations coefficients-racines · Espaces vectoriels normés · Polynômes d'endomorphismes — matrice de Floquet, multiplicateurs de Floquet, factorisation $\Phi(k) = P(k)B^k$ , polynôme à racines simples, $R(X^p)$ , convergence vers $0$

Partie IV — Le cas continu en dimension 2 p. 3–4

Systèmes différentiels linéaires · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Déterminants · Diagonalisation — système différentiel à coefficients périodiques, matrice résolvante, multiplicateurs de Floquet, solution périodique, wronskien, formule de Liouville

Partie V — Racines $p$ -ièmes dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ p. 4

Trigonalisation · Matrices par blocs · Nombres complexes · Groupes de matrices — racine $p$ -ième d'une matrice, matrice triangulaire supérieure inversible, racines de l'unité, récurrence sur la taille, matrices triangulaires par blocs