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Centrale-Supélec PSI 2021 — Maths 2

Autour des fonctions hypergéométriques · 5 pages

Le sujet définit les suites hypergéométriques, vérifiant $P(n)\, u_n = Q(n)\, u_{n+1}$ pour deux polynômes $P$ et $Q$ , puis la fonction $\Gamma$ et le symbole de Pochhammer. Il étudie la fonction hypergéométrique de Gauss $F(a, b, c)$ (rayon de convergence, dérivées, exemples) et en tire l'identité de Vandermonde, puis la fonction hypergéométrique confluente, solution d'une équation différentielle du second ordre, dont il montre que les polynômes de Laguerre sont des cas particuliers. La dernière partie calcule l'espérance et la variance de la loi hypergéométrique et montre qu'elle converge vers la loi binomiale quand la taille de l'urne tend vers l'infini.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Suites et séries hypergéométriques p. 1

Suites numériques · Polynômes · Espaces vectoriels et dimension · Coefficients binomiaux — suite hypergéométrique, relation de récurrence à coefficients polynomiaux, suite géométrique, coefficient binomial, dimension d'un espace de suites

Partie II — Extension de la factorielle p. 2

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction Gamma, relation $\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$ , continuité d'une intégrale à paramètre, prolongement de la factorielle

Partie III — Fonctions hypergéométriques p. 2–3

Séries entières · Coefficients binomiaux · Équations linéaires d'ordre 2 · Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions spéciales · Dénombrement et combinatoire — symbole de Pochhammer, fonction hypergéométrique de Gauss, rayon de convergence, identité de Vandermonde, fonction hypergéométrique confluente, solutions développables en série entière

Partie IV — Les polynômes de Laguerre p. 3–4

Polynômes de Laguerre · Équations linéaires d'ordre 2 · Dérivabilité — polynômes de Laguerre, formule de Leibniz, formule de Rodrigues, relation de récurrence, équation différentielle de Laguerre

Partie V — Loi hypergéométrique p. 4–5

Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Dénombrement et combinatoire · Fonctions génératrices · Covariance et corrélation — loi hypergéométrique, tirages sans remise, tirages avec remise, variables indicatrices, variance, approximation par la loi binomiale