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e3a-Polytech MP 2014 — Mathématiques

Fonctions de Bessel · 5 pages

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Le problème étudie l'équation de Bessel $x^2y'' + xy' + (x^2 - \alpha^2)y = 0$ : il la résout explicitement pour $\alpha = 1/2$ par le changement de fonction $z = \sqrt{x}\,y$ , puis construit pour $\alpha \geqslant 0$ une solution $f_\alpha$ développable en série entière (à un facteur $x^\alpha$ près) à l'aide de la fonction $\Gamma$ . Pour $\alpha = p$ entier, il identifie $f_p$ à l'intégrale de Bessel $g_p(x) = (1/\pi)\int_0^\pi \cos(pt - x \sin t)\,\mathrm{d}t$ grâce aux intégrales de Wallis et à la relation $f_{p-1} - f_{p+1} = 2f_p'$ , et termine par le développement en série de Fourier de $t \mapsto \operatorname{Re}(e^{ix\cos t})$ dont les coefficients sont les $g_{2n}(x)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Préliminaires p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Développements limités · Équivalents et comparaison — équation $y'' + y = 0$ , développement limité, limite en $0$ , équivalent

Partie II — L'équation de Bessel d'indice $1/2$ p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Fonctions de Bessel · Espaces vectoriels et dimension — équation de Bessel, changement de fonction inconnue, coefficients constants, espace des solutions, solution bornée en $0$

Partie III — Solutions développables en série entière p. 3–4

Fonctions de Bessel · Séries entières · Fonctions Gamma et Bêta · Équations linéaires d'ordre 2 · Équivalents et comparaison — fonction Gamma, rayon de convergence, solution développable en série entière, relation de récurrence sur les coefficients, fonctions de Bessel de première espèce

Partie IV — Représentation intégrale des fonctions de Bessel p. 4

Intégrales à paramètre · Fonctions de Bessel · Séries entières · Formule de Stirling · Intégrale sur un segment — intégrale de Bessel, dérivation sous l'intégrale, intégrales de Wallis, intégration par parties, développement en série entière

Partie V — Une série de Fourier p. 5

Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Fonctions de Bessel · Nombres complexes — coefficients de Fourier, fonction périodique, théorème de convergence normale, développement de Jacobi-Anger, fonction paire