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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech MP 2019 — Mathématiques

Quatre exercices : série de fonctions trigonométrique, endomorphisme de matrices, équation intégrale, endomorphisme symétrique · 5 pages

Sujet (PDF)

Le premier exercice somme la série des αncos⁡(nx)/n!\alpha^n \cos(nx)/n! à l'aide de l'exponentielle complexe et calcule par intégration terme à terme les intégrales de sin⁡(nx)C(x)\sin(nx)C(x) et cos⁡(nx)C(x)\cos(nx)C(x) sur [−π,π][-\pi, \pi]. Le deuxième étudie l'endomorphisme de ℳn(𝕂)\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) qui remplace chaque colonne par la somme des autres : déterminant, polynôme annulateur de degré 2, diagonalisabilité. Le troisième résout une équation intégrale en se ramenant à F′′+xF′+2F=0F'' + xF' + 2F = 0 et à une solution développable en série entière ; le quatrième montre que P↦∫01(x+t)nP(t) dtP \mapsto \int_0^1 (x + t)^n P(t) \,\mathrm{d}t est un endomorphisme symétrique de ℝn[X]\mathbb{R}_n[X] et calcule les traces de uu et u2u^2.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Une série de fonctions trigonométriques p. 2

Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Nombres complexes · Séries entières — série de fonctions, convergence normale, intégration terme à terme, exponentielle complexe, formules de trigonométrie

Exercice 2 — Un endomorphisme de ℳn(𝕂)\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) p. 2–3

Déterminants · Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Calcul matriciel — opérations sur les colonnes, polynôme annulateur, éléments propres, symétrie vectorielle, matrice dont tous les coefficients valent 1

Exercice 3 — Une équation intégrale p. 3–4

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — équation intégrale, primitive, solution développable en série entière, relation de récurrence sur les coefficients, problème de Cauchy

Exercice 4 — Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]\mathbb{R}_n[X] p. 4

Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Calcul matriciel · Coefficients binomiaux · Intégrale sur un segment — endomorphisme symétrique, produit scalaire intégral, base orthonormée de vecteurs propres, trace, noyau intégral, formule du binôme

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexesUne série entière est holomorpheConjugaison et moduleRacines carrées et équations du second degréLa fonction exponentielleSéries entières et rayon de convergenceLes fonctions holomorphes sont analytiquesDéterminant d'un endomorphismeFormes multilinéaires alternéesApplications linéairesAnneaux de polynômesMatrices d'une application linéaireThéorème du rangSystèmes linéaires et exponentielle de matricesIntégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyseDérivabilitéEspaces de Hilbert et théorème de projectionThéorème de représentation de RieszEnsembles finis et principe des tiroirs
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