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e3a-Polytech MP 2023 — Mathématiques

Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ , la fonction $x \mapsto \int_0^1 t^{t^x}\,\mathrm{d}t$ , un opérateur de moyenne, matrices aléatoires diagonalisables · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier détermine les éléments propres de l'endomorphisme $P \mapsto X P - (1/n)(X^2 - 1) P'$ de $\mathbb{R}_n[X]$ et montre qu'il est diagonalisable. Le deuxième étudie $F(x) = \int_0^1 t^{t^x} \,\mathrm{d}t$ (domaine, variations, limites) et l'écrit comme la somme $\sum (-1)^n/(1 + nx)^{n+1}$ par intégration terme à terme. Le troisième étudie l'opérateur $\Psi(f)(x) = \int_0^1 f(xt) \,\mathrm{d}t$ sur les fonctions continues sur $\mathbb{R}_+$ , injectif et non surjectif, en détermine les éléments propres par une équation différentielle et l'étudie sur un sous-espace engendré par les $x^i$ et $x^i \ln x$ . Le quatrième étudie une matrice aléatoire semblable à $\operatorname{diag}(X_1, \ldots, X_n)$ avec des $X_i$ de Bernoulli et détermine les lois de sa trace, de son rang et de son déterminant.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Éléments propres d'un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ p. 2

Diagonalisation · Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Applications linéaires et rang — formule de Taylor pour les polynômes, ordre de multiplicité d'une racine, matrice d'un endomorphisme, valeurs propres, vecteurs propres polynomiaux

Exercice 2 — La fonction $F(x) = \int t^{t^x} \,\mathrm{d}t$ p. 2–3

Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Fonctions Gamma et Bêta · Convergence dominée · Séries entières — intégrale à paramètre, continuité sous l'intégrale, théorème de convergence dominée, intégration terme à terme, fonction Gamma, tableau de variations

Exercice 3 — Un opérateur de moyenne sur les fonctions continues p. 4–5

Applications linéaires et rang · Équations différentielles linéaires · Opérateurs et théorie spectrale · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces vectoriels et dimension — opérateur intégral, injectivité, surjectivité, fonction $x \sin(1/x)$ , éléments propres, équation différentielle linéaire d'ordre 1, famille libre, matrice d'un endomorphisme induit

Exercice 4 — Matrice aléatoire semblable à une matrice diagonale de Bernoulli p. 5–6

Lois de Bernoulli et binomiale · Diagonalisation · Espérance, variance, moments · Applications linéaires et rang · Coefficients binomiaux · Matrices et graphes aléatoires — loi de Bernoulli, loi binomiale, trace et rang, déterminant, projecteur, matrice de rang 1, matrice aléatoire

e3a-Polytech MP 2023 — Mathématiques

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Éléments propres d'un endomorphisme de ℝn[X]\mathbb{R}_n[X] p. 2

Exercice 2 — La fonction F(x)=∫ttx dtF(x) = \int t^{t^x} \,\mathrm{d}t p. 2–3

Exercice 3 — Un opérateur de moyenne sur les fonctions continues p. 4–5

Exercice 4 — Matrice aléatoire semblable à une matrice diagonale de Bernoulli p. 5–6

Dans l'édifice

Exercice 1 — Éléments propres d'un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ p. 2

Exercice 2 — La fonction $F(x) = \int t^{t^x} \,\mathrm{d}t$ p. 2–3