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e3a-Polytech MPI 2023 — Mathématiques

Quatre exercices : endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ , fonction $x \mapsto \int_0^1 t^{t^x}\,\mathrm{d}t$ , opérateur de moyenne, produit infini et variables de Bernoulli · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier étudie l'endomorphisme $P \mapsto XP - (X^2 - 1)P'/n$ de $\mathbb{R}_n[X]$ et en détermine les éléments propres ; le deuxième étudie la fonction $F(x) = \int_0^1 t^{t^x}\,\mathrm{d}t$ et l'écrit comme somme de la série $\sum (-1)^n/(1 + nx)^{n+1}$ . Le troisième étudie l'opérateur $\Psi(f)(x) = \int_0^1 f(xt)\,\mathrm{d}t$ (injectivité, non-surjectivité, valeurs propres, restriction à un sous-espace de dimension finie), le quatrième relie un produit infini à une suite de variables de Bernoulli conditionnées.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ p. 2

Diagonalisation · Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Calcul matriciel — formule de Taylor pour les polynômes, ordre de multiplicité, éléments propres, endomorphisme de l'espace des polynômes de degré au plus $n$

Exercice 2 — La fonction $F(x) =$ intégrale de $t^{t^x}$ p. 2–3

Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Fonctions Gamma et Bêta · Convergence dominée · Séries entières — intégrale à paramètre, interversion série-intégrale, $\Gamma(n+1) = n!$ , tableau de variations

Exercice 3 — Un opérateur intégral p. 4–5

Opérateurs et théorie spectrale · Équations différentielles linéaires · Applications linéaires et rang · Intégrales généralisées et intégrabilité · Calcul matriciel — opérateur de moyenne, injectivité et surjectivité, valeurs propres, famille libre, fonction $x \sin(1/x)$

Exercice 4 — Produit infini et variables de Bernoulli p. 5–6

Produits infinis · Conditionnement et indépendance · Espaces probabilisés · Variables aléatoires et lois usuelles — produit infini, loi de Bernoulli, probabilités conditionnelles, événement presque sûr, indépendance

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Anneaux de polynômes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Une série entière est holomorphe Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Applications linéaires Théorème du rang Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Indépendance d'événements et de tribus Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle