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e3a-Polytech MPI 2025 — Mathématiques

Minimum sous contrainte, reste d'une division euclidienne et points entiers dans un disque · 4 pages

Trois exercices indépendants. Le premier détermine le minimum de $\sum \exp(x_j)$ sous la contrainte $\sum x_j = 0$ . Le deuxième étudie l'endomorphisme qui associe à $P$ le reste de la division de $(X^n - 1)P$ par $X^n - X$ : noyau, image, vecteurs propres de type Lagrange et polynôme caractéristique. Le troisième dénombre les points à coordonnées entières positives dans un quart de disque, en obtient un équivalent par des sommes de Riemann, puis en déduit le comportement d'une série entière liée au carré de la série lacunaire $\sum t^{k^2}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Minimum sous contrainte p. 2

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Calcul différentiel · Fonctions convexes — extremum local, extrema liés, borne inférieure, inégalité $\exp(t) \geqslant 1 + t$ , minimum global

Exercice 2 — Endomorphisme « reste de division euclidienne » p. 2–3

Polynômes · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Nombres complexes · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — division euclidienne des polynômes, PGCD, noyau et image supplémentaires, vecteurs propres $P_j = B/(X - z_j)$ , polynôme caractéristique, racines de l'unité

Exercice 3 — Points entiers dans un disque et série entière p. 3–4

Séries entières · Équivalents et comparaison · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Dénombrement et combinatoire · Arithmétique des entiers — points entiers d'un disque, sommes de Riemann, produit de Cauchy, série lacunaire, sommes de deux carrés, équivalent au bord du disque de convergence

e3a-Polytech MPI 2025 — Mathématiques

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Minimum sous contrainte p. 2

Exercice 2 — Endomorphisme « reste de division euclidienne » p. 2–3

Exercice 3 — Points entiers dans un disque et série entière p. 3–4

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