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e3a-Polytech PC 2023 — Mathématiques

Quatre exercices : endomorphisme annulé par un polynôme, série et variable aléatoire, réflexions, intégrales à paramètre · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier diagonalise un endomorphisme vérifiant $u^2 - 3u + 2\,\mathrm{id} = 0$ par décomposition en noyaux ; le deuxième étudie la série des $a_k = 1 - (1 - 1/2^k)^{n-1}$ , une variable aléatoire d'espérance $S_n$ et, par comparaison avec une intégrale, obtient un équivalent de $S_n$ . Le troisième caractérise les réflexions d'un espace euclidien, le quatrième étudie les intégrales $I_n(x) = \int_0^1 (1 - t^2)^n \cos(tx) \,\mathrm{d}t$ (régularité, relation de récurrence, développement en série entière).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Endomorphisme annulé par $X^2 - 3X + 2$ p. 2

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Calcul matriciel — polynôme annulateur, lemme des noyaux, base de vecteurs propres, $u^2 - 3u + 2\,\mathrm{id} = 0$

Exercice 2 — Série, variable aléatoire et encadrement p. 2–3

Séries numériques · Espérance, variance, moments · Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements limités · Équivalents et comparaison — série télescopique, espérance d'une variable à valeurs entières, série harmonique, équivalent de $S_n$

Exercice 3 — Réflexions d'un espace euclidien p. 4

Isométries et groupe orthogonal · Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices orthogonales et rotations — réflexion, symétrie orthogonale, hyperplan, matrice de projection orthogonale

Exercice 4 — Intégrales à paramètre p. 5

Intégrales à paramètre · Séries entières · Coefficients binomiaux · Intégrale sur un segment — dérivation sous le signe intégrale, relation de récurrence, développement en série entière de $\cos$ , factorielles