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e3a-Polytech PSI 2019 — Maths 2

Équations différentielles $y^{(n)} = a_0 y + \cdots + a_{n-1} y^{(n-1)}$ , Vandermonde et sommes de séries entières · 5 pages

Sujet (PDF)

Après des questions de cours sur le nombre $j$ et le déterminant de Vandermonde, le sujet montre l'inversibilité de la matrice de Vandermonde par un argument polynomial et en déduit la liberté des exponentielles $x \mapsto e^{\gamma_k x}$ . Il résout l'équation $y''' = y$ de deux façons (équation du premier ordre, puis système $X' = AX$ ) pour exprimer la somme de la série des $x^{3n}/(3n)!$ à l'aide de fonctions usuelles, étudie l'espace des solutions d'une équation linéaire d'ordre $n$ à coefficients constants et la dérivation sur cet espace, puis munit l'espace des solutions de $y^{(2p)} = y$ d'un produit scalaire intégral pour décomposer orthogonalement la somme des $x^{4k}/(4k)!$ .

Le sujet, partie par partie

Questions de cours p. 2

Nombres complexes · Déterminants · Systèmes différentiels linéaires — racine cubique de l'unité $j$ , système linéaire, déterminant de Vandermonde, théorème de Cauchy linéaire

Partie 1 — Matrice de Vandermonde et liberté des exponentielles p. 2–3

Déterminants · Espaces vectoriels et dimension · Racines et relations coefficients-racines · Matrices remarquables — matrice de Vandermonde, famille libre de fonctions, exponentielles, dérivées successives, polynôme ayant $n$ racines

Partie 2 — L'équation $y''' = y$ p. 3

Équations différentielles linéaires · Systèmes différentiels linéaires · Séries entières · Diagonalisation · Nombres complexes — équation différentielle linéaire d'ordre 3, système différentiel à coefficients constants, matrice diagonalisable, rayon de convergence, somme de série entière

Partie 3 — Équations linéaires à coefficients constants d'ordre $n$ p. 3–4

Équations différentielles linéaires · Diagonalisation · Systèmes différentiels linéaires · Espaces vectoriels et dimension · Matrices remarquables · Nombres complexes — espace des solutions, dimension $n$ , matrice compagnon, opérateur de dérivation, solutions exponentielles, racines $n$ -ièmes de l'unité

Partie 4 — Produit scalaire sur l'espace des solutions de $y^{(2p)} = y$ p. 4–5

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Projection orthogonale et moindres carrés · Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières — produit scalaire intégral, supplémentaires orthogonaux, projeté orthogonal, intégrale généralisée, série entière des $x^{4k}/(4k)!$

e3a-Polytech PSI 2019 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Questions de cours p. 2

Partie 1 — Matrice de Vandermonde et liberté des exponentielles p. 2–3

Partie 2 — L'équation y′′′=yy''' = y p. 3

Partie 3 — Équations linéaires à coefficients constants d'ordre nn p. 3–4

Partie 4 — Produit scalaire sur l'espace des solutions de y(2p)=yy^{(2p)} = y p. 4–5

Dans l'édifice

Partie 2 — L'équation $y''' = y$ p. 3

Partie 3 — Équations linéaires à coefficients constants d'ordre $n$ p. 3–4

Partie 4 — Produit scalaire sur l'espace des solutions de $y^{(2p)} = y$ p. 4–5