AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PSI 2026 — Mathématiques

Extremum d'une fonction de $n$ variables, suite récurrente, polynômes propres d'un opérateur différentiel et dés truqués · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. On étudie d'abord l'unique point critique d'une fonction quadratique sur $\mathbb{R}^n$ grâce à la hessienne $2(I_n + J)$ ; puis la suite $v(n+1) = \ln(1 - v(n)/2)$ par l'inégalité des accroissements finis et la convergence uniforme de la série de fonctions associée. On diagonalise ensuite l'endomorphisme $P \mapsto ((X^2 - 1)P)''$ de $\mathbb{R}_n[X]$ , dont les polynômes propres forment une base orthogonale pour le poids $1 - t^2$ sur $[-1, 1]$ ; enfin, on montre par les fonctions génératrices qu'on ne peut pas truquer deux dés pour que leur somme suive une loi uniforme.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Extremum d'une fonction de $n$ variables p. 2

Calcul différentiel · Points critiques et hessienne · Matrices symétriques positives · Matrices remarquables — formule de Taylor-Young, matrice hessienne, gradient, matrice dont tous les coefficients valent $1$ , extremum local

Exercice 2 — Suite récurrente et série de fonctions p. 3

Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Convergence uniforme et normale · Suites et séries de fonctions · Dérivabilité — suite récurrente, inégalité des accroissements finis, fonction contractante, série de fonctions, convergence uniforme

Exercice 3 — Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ et ses polynômes propres p. 3–4

Diagonalisation · Polynômes orthogonaux · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi — endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ , matrice triangulaire, polynômes pairs et impairs, produit scalaire intégral à poids, base orthogonale, intégration par parties

Exercice 4 — Peut-on truquer deux dés ? p. 4–5

Fonctions génératrices · Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes · Couples et sommes de variables aléatoires — dés truqués, somme de loi uniforme, fonction génératrice, racines de l'unité, polynôme de degré impair

e3a-Polytech PSI 2026 — Mathématiques

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Extremum d'une fonction de nn variables p. 2

Exercice 2 — Suite récurrente et série de fonctions p. 3

Exercice 3 — Un endomorphisme de ℝn[X]\mathbb{R}_n[X] et ses polynômes propres p. 3–4

Exercice 4 — Peut-on truquer deux dés ? p. 4–5

Dans l'édifice

Exercice 1 — Extremum d'une fonction de $n$ variables p. 2

Exercice 3 — Un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ et ses polynômes propres p. 3–4