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Mines-Ponts MP 2018 — Maths 2

Racines carrées de matrices complexes : existence et calcul numérique · 6 pages

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Le sujet étudie l'équation $X^2 = A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ : exemples (infinité de racines de $I_2$ , cas nilpotent sans racine polynomiale en $A$ , unicité de la racine symétrique définie positive), puis existence d'une racine carrée pour toute matrice inversible par trigonalisation, et d'une racine à valeurs propres de partie réelle strictement positive lorsque le spectre évite $\mathbb{R}_-$ . Il établit la convergence quadratique locale de la méthode de Newton appliquée à $F(X) = X^2 - A$ , en caractérisant l'inversibilité de $H \mapsto XH + HX$ par le polynôme minimal, montre son équivalence avec l'itération $V_{k+1} = (V_k + V_k^{-1}A)/2$ , et conclut par une étude de stabilité liée au conditionnement de $A$ .

Le sujet, partie par partie

A — Quelques exemples p. 2

Matrices symétriques positives · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Applications linéaires et rang · Théorème spectral — racine carrée d'une matrice, symétrie vectorielle, matrice nilpotente, polynôme en $A$ , matrice symétrique définie positive

B — Existence et calcul d'une racine carrée p. 2–3

Trigonalisation · Calcul matriciel · Nombres complexes — matrice triangulaire supérieure, trigonalisation, système triangulaire, racine carrée complexe, partie réelle positive

C — Algorithme de Newton p. 3–4

Méthode de Newton · Calcul différentiel · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Espaces vectoriels normés — méthode de Newton, convergence quadratique, différentielle, polynôme minimal, équation de Sylvester $AM = MB$ , norme de Frobenius

D — Forme équivalente p. 5–6

Méthode de Newton · Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Suites numériques · Diagonalisation — méthode de Héron, suite récurrente de matrices, matrices qui commutent, valeurs propres, racine carrée définie positive

E — Stabilité p. 6

Analyse numérique · Valeurs singulières et conditionnement · Matrices orthogonales et rotations · Suites numériques — stabilité numérique, perturbation, conditionnement, inverse d'une perturbation, suite géométrique