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Mines-Ponts MP 2019 — Maths 2

Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert · 5 pages

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Le problème étudie la plus grande valeur propre $\rho_n$ de la matrice de Hilbert $H_n = (1/(j + k + 1))$ . Il montre que $H_n$ est symétrique définie positive et que l'espace propre associé à $\rho_n$ est une droite engendrée par un vecteur sans coordonnée nulle (propriété de type Perron-Frobenius), puis établit l'inégalité de Hilbert ${}^t\!X H_n X \leqslant \pi \|X\|^2$ par une intégration sur le cercle unité. Il identifie ensuite $\rho_n$ à une borne inf-sup issue d'un opérateur intégral à noyau $K_n(tx)$ et, par un choix de fonction test solution d'une équation différentielle et la fonction Bêta, obtient la majoration explicite $\rho_n \leqslant 2\omega_n \arcsin(1/\omega_n)$ avec $\omega_n = 2((n!)^2/(2n)!)^{1/(2n)}$ , dont il étudie l'écart à $\pi$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Une propriété de Perron-Frobenius p. 2–3

Matrices symétriques positives · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème de Perron-Frobenius · Théorème spectral · Intégrale sur un segment — matrice de Hilbert, matrice définie positive, plus grande valeur propre, quotient de Rayleigh, sous-espace propre de dimension 1, vecteur à coordonnées non nulles

Partie B — Inégalité de Hilbert p. 3

Inégalités classiques · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Nombres complexes · Intégrale sur un segment · Suites numériques — inégalité de Hilbert, intégrale sur le cercle unité, polynôme en $e^{i\theta}$ , formule de Parseval pour les polynômes trigonométriques, suite croissante majorée

Partie C — Un opérateur intégral p. 3–4

Opérateurs et théorie spectrale · Rayon spectral · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Matrices symétriques positives — opérateur intégral à noyau, valeurs propres non nulles, fonction intégrable, caractérisation inf-sup, vecteur propre positif

Partie D — Une majoration explicite des rayons spectraux p. 4–5

Intégrales à paramètre · Fonctions Gamma et Bêta · Rayon spectral · Équations différentielles linéaires · Équivalents et comparaison · Formule de Stirling · Dérivabilité — intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, fonction Bêta, fonction Gamma, équation différentielle du premier ordre, arcsinus, équivalent