AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts MP 2021 — Maths 2

Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet associe à toute fonction $f$ d'un intervalle $I$ la fonction de matrices $u(f)(S) = {}^t\!\Omega \operatorname{Diag}(f(s_i))\, \Omega$ , définie sur les matrices symétriques à spectre dans $I$ grâce au théorème spectral, après une étude de la conjugaison des matrices diagonales par les matrices de permutation. Il montre que $u(f)(S)$ est un polynôme en $S$ , munit $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ de la norme spectrale à l'aide du quotient de Rayleigh, et prouve la continuité du spectre ordonné, puis celle de $u(f)$ quand $f$ est continue. Il établit enfin que $S \mapsto \operatorname{Tr}(u(f)(S))$ est convexe si et seulement si $f$ est convexe.

Le sujet, partie par partie

Notations et Matrices de permutations p. 2–3

Groupe symétrique · Matrices orthogonales et rotations · Matrices remarquables · Diagonalisation — matrices de permutation, morphisme de groupes, matrices diagonales, conjugaison, nombre d'occurrences

Fonctions de matrices symétriques p. 3–5

Théorème spectral · Interpolation polynomiale · Polynômes d'endomorphismes · Applications linéaires et rang · Convergence uniforme et normale — fonction d'une matrice symétrique, polynôme interpolateur de Lagrange, indépendance vis-à-vis de la diagonalisation, injectivité et surjectivité, convergence simple et uniforme

Norme et convexité p. 5

Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Ensembles convexes · Théorème spectral · Espaces vectoriels normés · Rayon spectral — quotient de Rayleigh, valeurs propres extrémales, rayon spectral, norme sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , partie convexe

Continuité des fonctions de matrices symétriques p. 5–6

Topologie des espaces de matrices · Compacité · Continuité · Racines et relations coefficients-racines · Matrices orthogonales et rotations — continuité du polynôme caractéristique, continuité du spectre, valeur d'adhérence, compacité du groupe orthogonal, suite extraite

Convexité des fonctions de matrices symétriques p. 6

Fonctions convexes · Théorème spectral · Inégalité de Jensen · Matrices orthogonales et rotations — fonction convexe, trace, coefficients diagonaux, fonction convexe de matrices, inégalité de Jensen

Dans l'édifice

Groupe symétrique et signature Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Anneaux de polynômes Applications linéaires Théorème du rang Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Hahn-Banach Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Groupe topologique Compacité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité