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X-ENS MP 2012 — Maths B

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence · 4 pages

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Le sujet introduit la convergence au sens de Cesàro et l'applique aux séries entières sur leur cercle de convergence pour trois exemples. Il démontre ensuite le théorème de Kronecker sur l'approximation simultanée des $e^{i\alpha_j}$ par les $e^{i\lambda_j N}$ quand $\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \pi$ sont $\mathbb{Q}$ -linéairement indépendants, à l'aide de la moyenne $M(f)$ des polynômes trigonométriques généralisés et du noyau de Fejér, en montrant que la norme infinie de $r_0 + \sum r_j e^{i\alpha_j} e^{i\lambda_j x}$ vaut $r_0 + \sum r_j$ . Il en déduit, pour chacun des trois exemples et sous des hypothèses d'indépendance sur $\mathbb{Q}$ , que l'ensemble des valeurs d'adhérence des sommes partielles en un point du cercle est un cercle, une réunion de deux cercles ou une couronne centrés en la C-limite.

Le sujet, partie par partie

Première partie — Convergence au sens de Cesàro p. 1–2

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries entières · Suites numériques · Nombres complexes — moyenne de Cesàro, C-limite, rayon de convergence, cercle de convergence, série géométrique

Deuxième partie — Un théorème de Kronecker p. 2–4

Fonctions presque-périodiques · Irrationalité et approximation diophantienne · Densité · Convergence des séries de Fourier · Espaces vectoriels normés — théorème de Kronecker, noyau de Fejér, moyenne d'une fonction presque périodique, indépendance linéaire sur $\mathbb{Q}$ , approximation diophantienne simultanée, norme infinie

Troisième partie — Valeurs d'adhérence aux points de C-convergence p. 4

Valeurs d'adhérence, limites inférieure et supérieure · Séries entières · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Densité · Irrationalité et approximation diophantienne · Nombres complexes — valeurs d'adhérence, sommes partielles sur le cercle de convergence, cercle, couronne, théorème de Kronecker

X-ENS MP 2012 — Maths B

Le sujet, partie par partie

Première partie — Convergence au sens de Cesàro p. 1–2

Deuxième partie — Un théorème de Kronecker p. 2–4

Troisième partie — Valeurs d'adhérence aux points de C-convergence p. 4

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