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X-ENS MP 2019 — Maths A

Entiers algébriques ayant beaucoup de conjugués de module 1 (théorème de Kronecker et nombres de Salem) · 9 pages

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Le sujet étudie les polynômes unitaires de $\mathbb{Z}[X]$ , irréductibles sur $\mathbb{Q}$ , ayant beaucoup de racines de module 1. Il introduit le polynôme minimal d'un nombre algébrique et montre qu'il est à coefficients entiers pour un entier algébrique, puis démontre le théorème de Kronecker (si toutes les racines sont de module 1, ce sont des racines de l'unité) et l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques $\Phi_n$ sur $\mathbb{Q}$ . Il définit ensuite l'ensemble $S$ des entiers algébriques réels $\alpha > 1$ dont tous les conjugués sont de module au plus 1 avec au moins un de module 1 (nombres de Salem), prouve que leur degré est pair et au moins 4, et construit la famille $X^4 - (6 + n)X^3 + (10 + n)X^2 - (6 + n)X + 1$ pour exhiber des éléments de $S$ et déterminer le plus petit élément de $S$ de degré 4.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Polynôme minimal d'un nombre algébrique p. 3–4

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Anneaux et idéaux · Polynômes · Corps et extensions — nombre algébrique, entier algébrique, polynôme minimal, idéal de $\mathbb{Q}[X]$ , polynôme irréductible, racines simples

Partie 2 — Polynômes cyclotomiques et théorème de Kronecker p. 5–6

Polynômes cyclotomiques · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Racines et relations coefficients-racines · Séries entières · Résultant et discriminant · Congruences et Z/nZ — polynômes cyclotomiques, racines primitives de l'unité, théorème de Kronecker, sommes de Newton, discriminant de $X^n - 1$ , irréductibilité de $\Phi_n$

Partie 3 — Polynômes réciproques et ensemble $S$ p. 7

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Racines et relations coefficients-racines · Polynômes — polynôme réciproque, conjugués d'un nombre algébrique, nombres de Salem, degré pair

Partie 4 — Une famille infinie d'éléments de $S$ p. 8

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Racines et relations coefficients-racines · Irrationalité et approximation diophantienne · Polynômes — nombres de Salem, polynôme réciproque de degré 4, irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ , racines de module 1, changement de variable $x + 1/x$

Dans l'édifice

Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Anneaux de polynômes Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Déterminant d'un endomorphisme Les anneaux ℤ/nℤ ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien