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X-ENS MP 2021 — Maths B

Loi zêta, produits eulériens, fonction Gamma et nombres d'Euler · 6 pages

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Le sujet utilise une variable de loi zêta pour obtenir le produit eulérien de $\zeta(s)$ , l'indépendance des valuations $p$ -adiques et le produit eulérien de la série $L$ de Dirichlet du caractère $\chi_4$ , reliée à la différence $r_1 - r_3$ des diviseurs congrus à 1 et 3 modulo 4. Il établit le produit infini du sinus, construit $\Gamma$ comme limite d'un produit, la caractérise par le théorème de Bohr-Mollerup et en déduit la formule des compléments. Il conclut par le développement en série entière de $1/\cos$ et l'expression de $\sum (-1)^n/(2n+1)^{2k+1}$ à l'aide des nombres d'Euler.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Loi zêta et produits eulériens p. 2–4

Nombres premiers · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Conditionnement et indépendance · Fonction zêta de Riemann · Produits infinis · Loi géométrique · Séries de Dirichlet · Variables aléatoires et lois usuelles — loi zêta, produit eulérien, valuation $p$ -adique, indépendance mutuelle, caractère de Dirichlet modulo 4, fonction multiplicative, nombre de diviseurs

Partie II — Produit infini du sinus p. 4–5

Produits infinis · Polynômes · Nombres complexes · Racines et relations coefficients-racines — factorisation de $\sin(\pi x)$ , produit d'Euler du sinus, formule de Moivre, racines d'un polynôme

Partie III — La fonction Gamma p. 5–6

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Suites et séries de fonctions · Intégrales généralisées et intégrabilité · Produits infinis — fonction Gamma, constante d'Euler, théorème de Bohr-Mollerup, log-convexité, fonction Bêta, formule des compléments

Partie IV — Développement de $1/\cos$ et nombres d'Euler p. 6

Séries entières · Séries alternées · Coefficients binomiaux · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius — nombres d'Euler, développement en série entière de $1/\cos$ , développement en éléments simples de $\pi/\sin(\pi x)$ , série $L$ de Dirichlet