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X-ENS MPI 2026 — Maths A

Matrices et polynômes : inégalité de von Neumann et rayon numérique · 7 pages

Le sujet compare la norme d'opérateur de $p(A)$ , pour $p$ polynôme et $A$ matrice complexe, au maximum de $|p|$ sur une partie du plan. Il démontre un principe du maximum via les matrices unitaires, l'inégalité de von Neumann par dilatation unitaire d'une contraction, puis étudie l'image numérique (hausdorffien) et le rayon numérique, jusqu'à l'inégalité $r(A^k) \leqslant r(A)^k$ et une introduction à la conjecture de Crouzeix.

Le sujet, partie par partie

Préambule et préliminaires — Normes subordonnées, matrices unitaires et hermitiennes p. 2–4

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens — norme subordonnée, conditionnement, matrice unitaire, matrice hermitienne, produit hermitien

A — Principe du maximum pour les polynômes p. 4

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Théorème spectral · Nombres complexes · Analyse complexe · Topologie, compacité, connexité — principe du maximum, matrice unitaire, polynôme de matrice, disque unité

B — Inégalité de von Neumann p. 5

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Matrices par blocs · Théorème spectral · Matrices symétriques positives · Polynômes d'endomorphismes — inégalité de von Neumann, contraction, dilatation unitaire, racine carrée hermitienne positive, matrice par blocs

C — Hausdorffien et rayon numérique p. 6–7

Ensembles convexes · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Compacité · Nombres complexes · Théorème spectral — image numérique, rayon numérique, enveloppe convexe des valeurs propres, polarisation, racines de l'unité

D — Conjecture de Crouzeix p. 7

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Ensembles convexes — conjecture de Crouzeix, rayon numérique, théorème d'Okubo-Ando, constante $2$

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Théorème de Hahn-Banach