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X-ENS PC 2020 — Maths

Matrices symétriques positives, noyau gaussien et interpolation de norme minimale · 6 pages

Le sujet établit d'abord que le produit de Hadamard de deux matrices symétriques positives est symétrique positif, puis en déduit que la matrice de noyau gaussien de coefficients $\exp(-|x_i - x_j|^2/(2\lambda))$ est symétrique positive. Il construit ensuite, à partir de l'opérateur de convolution par une gaussienne, un espace $H$ de combinaisons de gaussiennes translatées muni d'un produit scalaire à noyau reproduisant, et montre qu'il existe une unique interpolante de norme minimale, obtenue en résolvant le système $K\alpha = a$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Produit de Hadamard de matrices symétriques positives p. 3

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Calcul matriciel — produit de Hadamard, matrice symétrique positive, matrice de rang un, décomposition spectrale, produit terme à terme

Partie II — Fonctions appliquées coefficient par coefficient et matrice de Gram gaussienne p. 3–4

Matrices symétriques positives · Noyaux reproduisants · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Séries entières — matrice de Gram, noyau gaussien, noyau défini positif, exponentielle coefficient par coefficient, polynôme à coefficients positifs, produit de Hadamard

Partie III — Produit scalaire $L^2$ et opérateur de convolution gaussienne p. 4–5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales à paramètre · Transformées de Fourier et de Laplace — gaussienne, fonctions à décroissance gaussienne, translation, produit de convolution, produit scalaire intégral

Partie IV — Espace engendré par les gaussiennes translatées et noyau reproduisant p. 5

Noyaux reproduisants · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang — gaussiennes translatées, famille libre de fonctions, noyau reproduisant, produit scalaire, norme infinie, inverse d'un opérateur

Partie V — Interpolante de norme minimale p. 6

Noyaux reproduisants · Projection orthogonale et moindres carrés · Extrema et optimisation · Matrices symétriques positives — interpolation à noyau, minimisation sous contrainte, orthogonal d'un sous-espace, matrice de noyau inversible, système linéaire $K\alpha = a$