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Agrégation interne 2013 — Épreuve 1

Indice d'une courbe plane fermée : suites de Sturm et théorème de Hopf · 7 pages

Le sujet définit d'abord un indice algébrique (indice de Cauchy) d'une fraction rationnelle sur un intervalle, montre que l'indice de $P'/P$ compte les racines réelles de $P$ et l'applique aux lignes polygonales fermées, puis démontre le théorème de Sturm et relie le nombre de racines réelles à la signature d'une matrice tridiagonale. Il établit ensuite un théorème de relèvement pour une application continue d'un compact étoilé dans le cercle unité, et l'utilise pour prouver le théorème de Hopf : l'indice de rotation d'un arc de Jordan régulier vaut $1$ ou $-1$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Indice algébrique p. 1–3

Fractions rationnelles · Suites de Sturm et comptage des racines · Topologie algébrique · Polynômes · Nombres complexes — indice de Cauchy, fraction rationnelle, dérivée logarithmique $P'/P$ , nombre de racines réelles, ligne polygonale fermée, indice d'une courbe fermée

Partie II — Suite de Sturm p. 3–4

Suites de Sturm et comptage des racines · Formes bilinéaires et quadratiques · Fractions rationnelles · PGCD, Bézout, Gauss · Matrices remarquables · Déterminants — suite de Sturm, théorème de Sturm, changements de signe, algorithme d'Euclide, matrice tridiagonale, signature d'une forme quadratique

Partie III — Théorème de relèvement p. 5

Topologie algébrique · Continuité · Compacité · Nombres complexes · Connexité — théorème de relèvement, relèvement continu, argument continu, compact étoilé, uniforme continuité, $\operatorname{Arctan}$

Partie IV — Théorème de Hopf p. 6–7

Topologie algébrique · Courbes et surfaces · Continuité — indice de rotation, théorème de Hopf, arc de Jordan, abscisse curviligne, courbure, théorème des tangentes tournantes