AnnalesEnseignement

Agrégation interne 2016 — Épreuve 2

Récurrences indexées par Z, opérateur de shift et méthode de Newton · 11 pages

Le sujet étudie l'existence et l'unicité de suites $x = (x_t)$ indexées par $\mathbb{Z}$ vérifiant $a_0 x_t + \dots + a_N x_{t+N} = b_t$ lorsqu'un coefficient domine strictement la somme des modules des autres. Après des rappels sur les séries indexées par $\mathbb{Z}$ et sur les espaces $\ell^1$ et $\ell^\infty$ (normes, complétude), il étudie le spectre et les valeurs propres de l'opérateur de shift $S$ sur des suites indexées par $\mathbb{N}$ puis par $\mathbb{Z}$ , inverse $\mathrm{Id} - f$ par une série de Neumann et en déduit que $P_0(S)x = b$ a une unique solution bornée (resp. sommable), puis établit le procédé de sommation d'Euler $\sum u_n = (1/2) \sum 2^{-n} \sum_k \binom{n}{k} u_k$ . Il démontre ensuite la convergence de la méthode de Newton en dimension $p$ , en déduit la surjectivité d'une application $G$ dont la jacobienne vérifie $(J_G(x)h, h) \geqslant \gamma\|h\|^2$ , et l'applique à une version non linéaire périodique du problème.

Le sujet, partie par partie

Notations, objet du problème et Partie I — Séries indexées par $\mathbb{Z}$ p. 2–4

Séries numériques · Familles sommables et produit de Cauchy · Suites numériques — séries indexées par $\mathbb{Z}$ , convergence absolue, borne supérieure des sommes partielles, séries à termes positifs, contre-exemple

Partie II — Quelques espaces de suites de dimension infinie p. 5

Espaces vectoriels normés · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Séries numériques — espace $\ell^1$ , espace $\ell^\infty$ , espace complet, suites bornées, suites sommables, convergence coordonnée par coordonnée

Partie III — L'opérateur de shift p. 5–8

Opérateurs et théorie spectrale · Points fixes et suites itératives · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Racines et relations coefficients-racines · Suites récurrentes linéaires · Coefficients binomiaux — opérateur de décalage, spectre, valeurs propres, série de Neumann, théorème du point fixe, procédé d'Euler, isométrie de $\ell^p$

Partie IV — Un résultat de surjectivité p. 8–10

Méthode de Newton · Calcul différentiel · Points fixes et suites itératives · Espaces vectoriels normés — méthode de Newton en dimension $p$ , matrice jacobienne, inégalité des accroissements finis, fonction lipschitzienne, surjectivité, application fortement monotone

Partie V — Un problème non linéaire périodique p. 10–11

Calcul différentiel · Suites numériques · Congruences et Z/nZ — suites périodiques, récurrence non linéaire, réduction modulo $p$ , matrice jacobienne, diagonale dominante, surjectivité

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Théorème de Banach-Steinhaus Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Sommation d'Abel et intégrales impropres Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Ensembles finis et principe des tiroirs Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Les anneaux ℤ/nℤ