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Agrégation interne 2017 — Épreuve 1

Fonction signe de matrice, racine carrée et décomposition polaire · 9 pages

Le sujet étudie l'itération $U_{\ell+1} = (U_\ell + U_\ell^{-1})/2$ partant d'une matrice inversible $A$ sans valeur propre imaginaire pure : après le cas scalaire (méthode de Héron complexe et homographie $z \mapsto (z - 1)/(z + 1)$ ) et la convergence vers $0$ des puissances d'une matrice de spectre dans le disque unité, il montre que la suite converge vers une involution (fonction signe). Appliquée à une matrice par blocs, l'itération fournit l'unique racine carrée de spectre dans le demi-plan $\operatorname{Re} > 0$ , puis le sujet caractérise le facteur orthogonal (ou unitaire) de la décomposition polaire comme la meilleure approximation de $M$ par une matrice orthogonale pour la norme de Frobenius.

Le sujet, partie par partie

Préambule, préliminaires et Partie I — Matrices involutives p. 3–4

Diagonalisation · Nombres complexes · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices symétriques positives · Calcul matriciel — racine carrée complexe, homographie, demi-plan, disque unité, norme de Frobenius, matrice involutive, classes de similitude, trace

Partie II — Convergence des puissances d'une matrice p. 5

Rayon spectral · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Trigonalisation — puissances d'une matrice, spectre dans le disque unité, matrice nilpotente, sous-espaces caractéristiques, binôme de Newton

Partie III — Une suite récurrente complexe p. 5

Suites numériques · Nombres complexes · Méthode de Newton · Points fixes et suites itératives — méthode de Héron, suite homographique, demi-plan stable, suite $w_\ell = (1 + \beta^{2^\ell})/(1 - \beta^{2^\ell})$ , suite $u_{\ell+1} = (u_\ell + 1/u_\ell)/2$

Partie IV — Fonction signe d'une matrice p. 6–7

Diagonalisation · Rayon spectral · Méthode de Newton · Sous-espaces stables · Matrices par blocs — fonction signe matricielle, itération de Newton matricielle, transformation de Cayley, involution limite, décomposition en blocs

Partie V — Racine carrée d'une matrice p. 7

Matrices par blocs · Polynômes d'endomorphismes · Matrices symétriques positives · Réduction des endomorphismes — racine carrée de matrice, matrice par blocs, polynôme en $A$ , unicité de la racine carrée, matrice hermitienne définie positive

Partie VI — Approximation par une matrice orthogonale p. 8

Matrices orthogonales et rotations · Isométries et groupe orthogonal · Extrema et optimisation · Compacité · Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens — groupe orthogonal compact, norme de Frobenius, décomposition polaire, rotation plane, symétrie orthogonale, meilleure approximation

Partie VII — Décomposition polaire complexe p. 9

Isométries et groupe orthogonal · Groupes de matrices · Exponentielle de matrices · Points critiques et hessienne — groupe unitaire, matrice antihermitienne, exponentielle de matrice, maximum local, décomposition polaire