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Agrégation interne 2018 — Épreuve 1

Positivité d'un déterminant par blocs complexe et résultant de deux polynômes · 11 pages

Le problème démontre que, pour $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , le déterminant de la matrice par blocs de première ligne $(A, B)$ et de seconde ligne $(-\overline{B}, \overline{A})$ est un réel positif, en le ramenant à la positivité de $\det(I_n + C\overline{C})$ . Ce résultat est d'abord établi lorsque le polynôme caractéristique de $C\overline{C}$ est scindé à racines simples, puis étendu par densité grâce au résultant et au discriminant ; on en déduit que les valeurs propres réelles strictement négatives d'un carré de matrice réelle sont de multiplicité paire. Le sujet donne enfin une autre construction du résultant et une preuve directe par une application semi-linéaire $\theta$ commutant aux matrices étudiées.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Résultats préliminaires p. 5–6

Déterminants · Matrices par blocs · Topologie des espaces de matrices · Algèbres et sous-algèbres · Nombres complexes — conjugaison complexe, automorphisme involutif, densité de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , déterminant par blocs, complément de Schur

Partie II — Démonstration de (2) dans un cas particulier p. 7

Diagonalisation · Réduction des endomorphismes · Topologie des espaces de matrices · Calcul matriciel — polynômes caractéristiques de $AB$ et $BA$ , polynôme scindé à racines simples, polynôme caractéristique réel, valeurs propres positives

Partie III — Résultant de deux polynômes p. 7–8

Résultant et discriminant · PGCD, Bézout, Gauss · Applications linéaires et rang · Déterminants — matrice de Sylvester, résultant, discriminant, polynômes premiers entre eux, racines simples

Partie IV — Quelques résultats sur les fonctions polynomiales à plusieurs variables p. 8–9

Polynômes · Densité · Topologie des espaces de matrices · Résultant et discriminant · Exponentielle de matrices · Diagonalisation — fonction polynomiale, fermé d'intérieur vide, ouvert dense, discriminant, carré d'une matrice réelle, exponentielle d'une matrice réelle

Partie V — Autre manière d'introduire le résultant p. 9–10

Résultant et discriminant · Anneaux et idéaux · Applications linéaires et rang · Déterminants · PGCD, Bézout, Gauss — division euclidienne, anneau quotient $\mathbb{K}[X]/(Q)$ , projecteur, multiplication par $P$ , déterminant d'un endomorphisme

Partie VI — Autre preuve de l'assertion (1) p. 10–11

Matrices par blocs · Réduction des endomorphismes · Sous-espaces stables · Déterminants · Nombres complexes — application semi-linéaire, sous-espaces caractéristiques, dimension paire, matrices semblables, polynôme caractéristique réel