AnnalesEnseignement

Agrégation interne 2021 — Épreuve 1

Le théorème de Burnside et la co-trigonalisation · 11 pages

Après des préliminaires sur la trace et les formes linéaires sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , le sujet démontre le théorème de Burnside : une sous-algèbre irréductible de $\mathcal{L}(E)$ , avec $E$ complexe de dimension finie au moins 2, est $\mathcal{L}(E)$ tout entier, et il montre par deux contre-exemples que les hypothèses sont nécessaires. Il l'applique aux sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ (groupe unitaire, groupes irréductibles à valeurs propres de module 1, théorème de Kolchin), puis prouve que les matrices magiques forment l'espace engendré par les matrices de permutation. Il établit enfin, par passage au quotient, un lemme de co-trigonalisation qui donne le théorème de McCoy et la diagonalisation unitaire des matrices normales.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Quelques préliminaires p. 3–5

Calcul matriciel · Dualité · Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Groupes de matrices · Algèbres et sous-algèbres — trace, matrices élémentaires, forme linéaire $M \mapsto \operatorname{tr}(AM)$ , forme linéaire proportionnelle à la trace, sous-algèbre engendrée par un groupe, co-diagonalisation

Partie 2 — Un théorème de Burnside p. 5–6

Algèbres et sous-algèbres · Sous-espaces stables · Matrices par blocs · Applications linéaires et rang — théorème de Burnside, sous-algèbre irréductible, commutant, homothéties, supplémentaire stable, projecteur

Partie 3 — Sur les hypothèses dans le théorème de Burnside p. 6–7

Nilpotents, Jordan, Dunford · Corps et extensions · Sous-espaces stables · Polynômes · Polynômes d'endomorphismes · Algèbres et sous-algèbres — matrices nilpotentes, polynôme irréductible sur $\mathbb{Q}$ , $X^3 + X + 1$ , algèbre engendrée par un endomorphisme, sous-espaces stables

Partie 4 — Trois applications du théorème de Burnside à des sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ p. 7–8

Groupes de matrices · Trigonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Dualité · Topologie des espaces de matrices — groupe unitaire, sous-groupe borné, matrices unipotentes, théorème de Kolchin, co-trigonalisation

Partie 5 — Autour des matrices magiques et des matrices de permutation p. 8–9

Matrices remarquables · Groupe symétrique · Sous-espaces stables · Dualité · Espaces vectoriels et dimension · Représentations des groupes finis — matrices magiques, matrices de permutation, dimension d'un sous-espace, formes linéaires liées, hyperplan stable

Partie 6 — Passage au quotient et co-trigonalisation p. 9–11

Trigonalisation · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces vectoriels et dimension · Procédé de Gram-Schmidt · Diagonalisation · Algèbres et sous-algèbres — espace vectoriel quotient, lemme de co-trigonalisation, commutateurs nilpotents, théorème de McCoy, matrices normales, procédé de Gram-Schmidt