AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2020 — Remplacement, septembre 2020

Probabilités conditionnelles, loi normale et échantillonnage, fonction exponentielle et aire, géométrie dans le cube, vrai-faux (suites, algorithme, complexes) ou équation $x^2 - 5y^2 = 1$ et matrices · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice exploite un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inversée, puis la loi normale (recherche d'un écart type $\sigma$ ) et un intervalle de fluctuation pour tester un taux de covoiturage. Le deuxième étudie $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^{-kx} + 1$ et la tangente en son point d'abscisse 1, dont l'ordonnée à l'origine vaut $g(k) = 1 - \mathrm{e}^{-k}$ , puis majore et calcule l'aire comprise entre la courbe de $h(x) = (x-1)\mathrm{e}^{-2x} + 1$ et la droite $y = x$ . Le troisième place dans un cube les points $K$ et $L$ par des représentations paramétriques et un vecteur normal, et construit la section du cube par le plan $(HMN)$ . Au choix, les non-spécialistes traitent un vrai-faux sur les suites, un algorithme, une équation complexe et une suite $z_{n+1} = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}z_n$ , et les spécialistes étudient l'équation $x^2 - 5y^2 = 1$ par la parité et les congruences modulo 5, puis en engendrent des solutions à l'aide de la matrice $A = \begin{pmatrix} 9 & 20 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilité conditionnelle, loi normale, intervalle de fluctuation p. 1

Conditionnement et indépendance · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, loi normale, $P(Y \geqslant 30) = 0{,}1$ , recherche d'un écart type, intervalle de fluctuation, covoiturage

Exercice 2 — Fonctions $(x-1)\mathrm{e}^{-kx} + 1$ : tangente, puis encadrement et calcul d'une aire entre une courbe et une droite p. 1–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $g(x) = 1 - \mathrm{e}^{-x}$ , $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^{-kx} + 1$ , tangente, $h(x) - x = (1-x)\left(1 - \mathrm{e}^{-2x}\right)$ , $\mathrm{e}^{-2x} \geqslant 1 - 2x$ , aire entre deux courbes, primitive

Exercice 3 — Cube : représentations paramétriques, vecteur normal et section par le plan $(HMN)$ p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, représentation paramétrique, intersection de deux droites, vecteur normal $\vec{n}(2 ; -2 ; 3)$ , équation cartésienne d'un plan, section d'un cube par un plan

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : nature d'une suite, limite, algorithme de seuil, nombres complexes p. 4–5

Suites numériques · Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — vrai-faux, $u_{n+1} = -\frac{2}{3}u_n + 1$ , $w_n = \frac{3 + \cos(n)}{n^2}$ , convergence d'une suite, algorithme, $(z - \mathrm{i})\left(z^2 + z\sqrt{3} + 1\right) = 0$ , $z_{n+1} = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}z_n$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation $x^2 - 5y^2 = 1$ : congruences modulo 5 et solutions engendrées par une matrice p. 5

Équation de Pell-Fermat · Congruences et Z/nZ · Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss — $x^2 - 5y^2 = 1$ , parité, entiers premiers entre eux, carrés modulo 5, $A = \begin{pmatrix} 9 & 20 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ , raisonnement par récurrence, multiple de 9

Bac Antilles-Guyane Terminale 2020 — Remplacement, septembre 2020

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilité conditionnelle, loi normale, intervalle de fluctuation p. 1

Exercice 2 — Fonctions (x−1)e−kx+1(x-1)\mathrm{e}^{-kx} + 1 : tangente, puis encadrement et calcul d'une aire entre une courbe et une droite p. 1–3

Exercice 3 — Cube : représentations paramétriques, vecteur normal et section par le plan (HMN)(HMN) p. 3–4

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : nature d'une suite, limite, algorithme de seuil, nombres complexes p. 4–5

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation x2−5y2=1x^2 - 5y^2 = 1 : congruences modulo 5 et solutions engendrées par une matrice p. 5

Dans l'édifice

Exercice 2 — Fonctions $(x-1)\mathrm{e}^{-kx} + 1$ : tangente, puis encadrement et calcul d'une aire entre une courbe et une droite p. 1–3

Exercice 3 — Cube : représentations paramétriques, vecteur normal et section par le plan $(HMN)$ p. 3–4

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation $x^2 - 5y^2 = 1$ : congruences modulo 5 et solutions engendrées par une matrice p. 5