AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2017 — Session normale, 13 juin 2017

QCM de probabilités, perpendiculaire commune à deux droites de l'espace, pharmacocinétique (exponentielle, intégrale, suite arithmético-géométrique), polygones réguliers et suite ou arbre de Stern-Brocot · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM de probabilités sur une loi normale, une loi binomiale, une probabilité conditionnelle inversée, une loi exponentielle et la taille d'un échantillon pour un intervalle de confiance. Le deuxième construit dans l'espace une droite perpendiculaire et sécante à deux droites non coplanaires, à l'aide d'un plan d'équation $5x + 4y - z - 22 = 0$ . Le troisième étudie la concentration plasmatique d'un médicament : demi-vie et aire sous la courbe pour $f(t) = 20\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , maximum de $g(t) = 20\left(\mathrm{e}^{-0{,}1t} - \mathrm{e}^{-t}\right)$ , puis injections répétées décrites par $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 20$ . Au choix, les non-spécialistes expriment le rayon $r_n$ d'un polygone régulier d'aire 1 à l'aide de la trigonométrie et des complexes et montrent que la suite $(r_n)$ décroît et converge, et les spécialistes étudient l'arbre de Stern-Brocot par des produits de matrices et montrent que les fractions associées sont irréductibles.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : loi normale, loi binomiale, formule de Bayes, loi exponentielle et intervalle de confiance p. 1–2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Loi exponentielle · Statistique : estimation et tests — QCM, $P(X \leqslant 170) = 0{,}02$ , au moins deux succès, probabilité conditionnelle inversée, espérance d'une loi exponentielle, taille d'échantillon

Exercice 2 — Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, droites non coplanaires, vecteur orthogonal à deux vecteurs, équation cartésienne de plan, intersection droite-plan, perpendiculaire commune

Exercice 3 — Pharmacocinétique : fonctions exponentielles, aire sous la courbe et suite arithmético-géométrique p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Suites arithmétiques et géométriques · Intégrales généralisées et intégrabilité — demi-vie, $f(t) = 20\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , aire sous la courbe, $g(t) = 20\left(\mathrm{e}^{-0{,}1t} - \mathrm{e}^{-t}\right)$ , $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 20$ , raisonnement par récurrence, seuil

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique — Polygones réguliers d'aire 1 : trigonométrie et suite décroissante convergente p. 4–5

Suites numériques · Fonctions trigonométriques · Nombres complexes · Informatique et algorithmique — polygone régulier, $r_n = \sqrt{\frac{2}{n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}}$ , aire d'un triangle, fonction $x \mapsto \frac{x}{\sin x}$ , suite décroissante minorée, algorithme de seuil

Exercice 4 — Candidats ayant choisi la spécialité mathématique — Arbre de Stern-Brocot : produits de matrices et fractions irréductibles p. 5–6

Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss · Informatique et algorithmique — arbre de Stern-Brocot, produit de matrices, $ad - bc = 1$ , fraction irréductible, théorème de Bézout, algorithme des soustractions successives