AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2020 — Remplacement, 2 septembre 2020

QCM de probabilités, droites orthogonales non coplanaires dans un cube, fonction $x\mathrm{e}^{-x^2+1}$ et aire, suite complexe ou matrices et divisibilité · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM de probabilités : répétition d'épreuves indépendantes, probabilités totales, probabilité conditionnelle pour une loi normale, loi exponentielle et loi uniforme. Le deuxième montre que les droites $(BH)$ et $(FC)$ d'un cube sont orthogonales et non coplanaires, minimise la distance $MM'$ entre leurs points et en déduit leur perpendiculaire commune $(PQ)$ . Le troisième étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x^2+1}$ (limite, symétrie de la courbe, variations, équation $f(x) = 0{,}5$ ), calcule $I_A = \int_0^A f(x)\,\mathrm{d}x$ et sa limite, puis en déduit l'aire d'une figure. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite complexe $z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n - \mathrm{i}$ (module, forme exponentielle, récurrence), et les spécialistes calculent les puissances d'une matrice par diagonalisation pour obtenir $a_n$ et établir sa divisibilité par 5 lorsque $n$ est multiple de 4.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : loi binomiale, probabilités totales, loi normale, loi exponentielle et loi uniforme p. 1

Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Loi exponentielle · Fonctions trigonométriques — QCM, au moins un succès, probabilités totales, $P_{(T > 60)}(T > 72)$ , durée de fonctionnement sans panne, loi uniforme sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ , $\cos x > \frac{1}{2}$

Exercice 2 — Droites orthogonales non coplanaires dans un cube et distance minimale p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace · Extrema et optimisation — cube, représentation paramétrique, droites non coplanaires, droites orthogonales, $MM'^2 = 3\left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(t' - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$ , perpendiculaire commune

Exercice 3 — Fonction $x\mathrm{e}^{-x^2+1}$ : symétrie, variations, équation $f(x) = 0{,}5$ et calcul d'aire p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x\mathrm{e}^{-x^2+1}$ , fonction impaire, centre de symétrie, théorème des valeurs intermédiaires, $I_A = \int_0^A f(x)\,\mathrm{d}x$ , aire

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite complexe $z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n - \mathrm{i}$ : module et forme exponentielle p. 4

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques — $z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n - \mathrm{i}$ , triangle isocèle rectangle, $u_n = |z_n - 1|$ , suite géométrique, forme exponentielle, $z_n = 1 - \left(\sqrt{2}\right)^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi}{4}}$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Puissances de matrice par diagonalisation et divisibilité par 5 p. 4–5

Calcul matriciel · Diagonalisation · Congruences et Z/nZ · Suites récurrentes linéaires · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — $M^2 = M + 2I$ , $X_{n+1} = AX_n$ , $A^n = PD^nP^{-1}$ , matrice diagonale, $a_n = \frac{1}{3}\left(2^n + (-1)^{n-1}\right)$ , $2^{4k} - 1 \equiv 0$ modulo 5