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CAPES externe 2013 — Écrit disciplinaire

Nombres irrationnels ; statistiques, probabilités et entropie · 5 pages

Le premier problème démontre l'irrationalité de racine de $n$ ( $n$ non carré), de $\ln 2/\ln 3$ , de $e$ (par les suites adjacentes $u_n$ et $u_n + 1/(n\cdot n!)$ ) et de $\pi$ (par les polynômes $P_n(x) = x^n(a - bx)^n/n!$ et les intégrales de $P_n \sin$ ), puis construit le développement en série de Engel d'un réel de $\left]0, 1\right]$ , en prouve l'unicité et caractérise les rationnels par une suite stationnaire. Le second problème compare moyenne et médiane comme minimiseurs de la somme des carrés ou des valeurs absolues des écarts, puis montre que l'entropie d'un système complet est maximale en cas d'équiprobabilité (via l'inégalité de Jensen) et que, à moyenne nulle et variance $1$ , la densité gaussienne maximise l'entropie.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — Quelques exemples de nombres irrationnels p. 1

Irrationalité et approximation diophantienne · Suites numériques · Nombres premiers · PGCD, Bézout, Gauss — irrationalité de racine de $n$ , irrationalité de $e$ , suites adjacentes, quotient de logarithmes, raisonnement par l'absurde

Problème 1, Partie B — Une preuve de l'irrationalité de $\pi$ p. 1–2

Irrationalité et approximation diophantienne · Intégrale sur un segment · Polynômes · Dérivabilité — irrationalité de $\pi$ , preuve de Niven, intégrations par parties successives, dérivées successives d'un polynôme, suite d'entiers tendant vers $0$

Problème 1, Partie C — Développement en série de Engel et applications p. 2–3

Séries numériques · Irrationalité et approximation diophantienne · Nombres rationnels et décimaux · Suites numériques — série de Engel, partie entière, unicité du développement, caractérisation des rationnels, suite stationnaire, cosinus hyperbolique

Problème 2, Partie A — Deux indicateurs de dispersion p. 3

Statistique : estimation et tests · Extrema et optimisation · Fonctions convexes — moyenne, médiane, moindres carrés, somme des écarts absolus, fonction affine par morceaux, trinôme du second degré

Problème 2, Partie B — Théorie de l'information, le cas discret p. 4–5

Entropie et théorie de l'information · Inégalité de Jensen · Espaces probabilisés · Fonctions convexes — entropie de Shannon, système complet d'événements, inégalité de Jensen, maximum d'entropie, équiprobabilité, convexité de $x \ln x$

Problème 2, Partie C — Théorie de l'information, le cas continu p. 5

Entropie et théorie de l'information · Loi normale et vecteurs gaussiens · Variables à densité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Loi exponentielle — entropie d'une densité, densité gaussienne, maximum d'entropie à variance fixée, inégalité $x \ln y$ , intégrale nulle d'une fonction positive continue