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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

CCINP PC 2020 — Mathématiques

Intégrale de Dirichlet, extremums d'une forme quadratique, retour à l'origine d'une marche aléatoire · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Trois exercices indépendants. Le premier calcule l'intégrale de Dirichlet de sin⁡(t)/t\sin(t)/t sur ]0,+∞[\left]0, +\infty\right[ en étudiant l'intégrale à paramètre F(x)F(x) obtenue avec le facteur exp⁡(−xt)\exp(-xt), qui vaut π/2−Arctan⁡(x)\pi/2 - \operatorname{Arctan}(x), puis en prouvant sa continuité en 00. Le deuxième montre que les extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée sont liés aux valeurs propres extrêmes de sa matrice symétrique ; le troisième détermine, par fonctions génératrices, la loi du premier temps de retour en 00 de la marche aléatoire simple sur ℤ\mathbb{Z}, qui est presque sûrement fini mais sans espérance.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Calcul de l'intégrale de Dirichlet p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions spéciales · Intégrale sur un segment — intégrale de Dirichlet, dérivation sous le signe intégrale, intégration par parties, continuité d'une intégrale à paramètre, arctangente

Exercice 2 — Extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée p. 4–5

Formes bilinéaires et quadratiques · Théorème spectral · Extrema et optimisation · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Points critiques et hessienne · Compacité · Matrices orthogonales et rotations — forme quadratique, boule unité fermée, matrice symétrique réelle, valeurs propres extrêmes, point critique, bornes atteintes

Exercice 3 — Retour à l'origine d'une marche aléatoire sur ℤ\mathbb{Z} p. 6–7

Marches aléatoires · Fonctions génératrices · Séries entières · Lois de Bernoulli et binomiale · Familles sommables et produit de Cauchy · Convergence uniforme et normale · Espérance, variance, moments — marche aléatoire simple, temps de retour à l'origine, produit de Cauchy, développement en série entière de racine de 1−x21 - x^2, coefficient binomial central, espérance infinie

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètreThéorème de convergence dominéeFonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannLa fonction zêta de Riemann et son prolongementIntégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyseEspace dualEspaces de Hilbert et théorème de projectionApplications différentiablesCompacitéLe groupe linéaire et l'inversion des matricesIndépendance d'événements et de tribusSéries entières et rayon de convergenceVariables aléatoires, lois, fonctions de répartitionUne série entière est holomorpheLes fonctions holomorphes sont analytiquesLa demi-droite achevée et les sommes positivesConvergence uniforme et intégrale des fonctions complexesEspérance, variance et inégalités
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