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CCINP PSI 2014 — Mathématiques

Longueur du graphe d'une fonction · 8 pages

Le sujet étudie la longueur $L(f) = \int \sqrt{1 + f'(t)^2}\,\mathrm{d}t$ du graphe d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ : calculs explicites, développement en série de la longueur d'un arc d'hyperbole, et limite égale à $2$ des longueurs des graphes de $t \mapsto t^n$ sur $[0, 1]$ . Il construit ensuite, à partir de $\sin(1/t)/t$ , une fonction continue sur $[0, 1]$ dont le graphe est de longueur infinie, et montre que la longueur n'est pas continue pour la norme uniforme mais l'est pour la norme $|f(0)| + \|f'\|_\infty$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Quelques exemples de calculs de longueurs p. 1–2

Courbes et surfaces · Intégrale sur un segment — longueur d'un arc, graphe d'une fonction, cosinus hyperbolique, arc de cercle, intégration par parties

Partie II — Un calcul approché de longueur p. 2–3

Séries entières · Interversion des limites · Courbes et surfaces · Séries alternées · Équivalents et comparaison — arc d'hyperbole, développement en série entière de $(1 + u)^\alpha$ , intégration terme à terme, valeur approchée, majoration du reste

Partie III — Longueur du graphe des fonctions puissances p. 3

Convergence dominée · Courbes et surfaces · Suites numériques — théorème de convergence dominée, suite d'intégrales, longueur du graphe de $t^n$ , fonction croissante de classe $\mathcal{C}^1$

Partie IV — Un résultat inattendu p. 4

Intégrales généralisées et intégrabilité · Courbes et surfaces · Continuité — intégrale de $\sin(t)/t$ , intégrale semi-convergente, intégrale non absolument convergente, prolongement par continuité, courbe de longueur infinie

Partie V — Continuité de la fonction longueur p. 5

Normes équivalentes · Espaces vectoriels normés · Convergence uniforme et normale · Continuité — norme de la convergence uniforme, norme $\mathcal{C}^1$ , normes non équivalentes, continuité d'une fonctionnelle, convergence uniforme