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Centrale-Supélec MP 2015 — Maths 1

Autour de la transformation de Radon · 4 pages

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Le sujet étudie la transformée de Radon $\hat{f}(q, \theta)$ , intégrale d'une fonction du plan le long de la droite $\Delta(q, u_\theta)$ . Il décrit le groupe $G$ des déplacements du plan sous forme de matrices $3\times 3$ et son action sur les droites, calcule la transformée de fonctions radiales, puis démontre la formule d'inversion de Radon $f(x, y) = -(1/\pi) \int_0^\infty R'_{x,y}(q)/q \,\mathrm{d}q$ sous des hypothèses de décroissance de $f$ et de ses dérivées partielles. Il interprète enfin $\hat{f}$ comme une fonction $H$ -invariante sur $G$ et explique son usage en radiographie.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires géométriques p. 1–2

Groupes de matrices · Géométrie affine et euclidienne · Isométries et groupe orthogonal · Groupes · Actions de groupes · Matrices orthogonales et rotations — isométries affines directes, groupe des déplacements, sous-groupe de $\mathrm{GL}_3$ , droite affine du plan, équation cartésienne, paramétrisation d'une droite, rotations

Partie II — Fonctions radiales p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Intégrales multiples · Calcul différentiel — transformée de Radon, fonction radiale, moyenne sur un cercle, changement de variable $q = \operatorname{sh} u$ , intégrale généralisée, intégrabilité

Partie III — Transformée de Radon d'une fonction de $\mathcal{B}_1$ p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Calcul différentiel · Dérivabilité — transformée de Radon, fonctions à décroissance rapide, dérivation sous le signe intégrale, dérivées partielles, moyenne angulaire

Partie IV — Formule d'inversion p. 3–4

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales multiples · Équivalents et comparaison · Continuité — formule d'inversion de Radon, intégrale à paramètre, interversion d'intégrales, changement de variable, comportement à l'infini, transformée d'Abel

Partie V — Interprétation et application à la radiographie p. 4

Groupes de matrices · Actions de groupes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Géométrie affine et euclidienne — fonctions invariantes sur un groupe, $H$ -invariance, tomographie, radiographie, intégrale sur une droite, imagerie médicale