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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec PSI 2012 — Maths 1

Une transformation intégrale généralisant la transformée de Laplace · 3 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie la transformation Lf(x)=∫0+∞f(t) e−λ(t)x dtLf(x) = \int_0^{+\infty} f(t)\, e^{-\lambda(t)x} \,\mathrm{d}t, où λ\lambda est continue, croissante et non majorée, en comparant l'ensemble des xx où l'intégrande est intégrable et celui où l'intégrale converge. Il en tire la valeur de l'intégrale de Gauss, un développement en série pour f(t)=t/(et−1)−1+t/2f(t) = t/(e^t - 1) - 1 + t/2, l'intégrale de Dirichlet, le comportement asymptotique de LfLf en +∞+\infty et en 00, puis l'injectivité de la transformée de Laplace via le théorème de Weierstrass. La dernière partie applique la transformation à un endomorphisme autoadjoint de l'espace des polynômes dont les vecteurs propres sont les polynômes de Laguerre.

Le sujet, partie par partie

Parties I et II — Préliminaires et exemples dans le cas de ff positive p. 1

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Fonctions spéciales · Équations différentielles linéaires — intégrabilité et convergence d'une intégrale, continuité sous l'intégrale, intégrale de Gauss, transformée de Laplace généralisée

Partie III — Étude d'un premier exemple p. 1

Interversion des limites · Transformées de Fourier et de Laplace · Séries numériques · Développements limités — prolongement par continuité, intégration terme à terme, série de terme général 1/(n+x)21/(n + x)^2, développement en série de 1/(et−1)1/(e^t - 1)

Partie IV — Généralités dans le cas typique λ(t)=t\lambda(t) = t p. 2

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Développements asymptotiques · Développements limités · Convergence dominée — transformée de Laplace, dérivées successives sous l'intégrale, développement asymptotique en l'infini, comportement en 00, théorème abélien

Partie V — Étude d'un deuxième exemple : sin⁡t/t\sin t / t p. 2

Transformées de Fourier et de Laplace · Fonctions spéciales · Convergence uniforme et normale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries alternées — intégrale de Dirichlet, sinus cardinal, série de fonctions uniformément convergente, arctangente, intégrale semi-convergente

Partie VI — Injectivité dans le cas typique p. 2–3

Théorème de Weierstrass · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales généralisées et intégrabilité — théorème de Weierstrass, moments nuls, injectivité de la transformée de Laplace, changement de variable u=e−atu = e^{-at}

Partie VII — Étude en la borne inférieure de EE p. 3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Transformées de Fourier et de Laplace — abscisse de convergence, fonction positive, limite au bord du domaine, intégrale de cos⁡t e−xln⁡(1+t)\cos t\, e^{-x \ln(1+t)}

Partie VIII — Une utilisation de la transformation LL : polynômes de Laguerre p. 3

Polynômes de Laguerre · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Transformées de Fourier et de Laplace · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Équations différentielles linéaires · Réduction des endomorphismes — produit scalaire à poids e−te^{-t}, endomorphisme autoadjoint, équation de Laguerre, formule de Rodrigues, vecteurs propres orthogonaux

Dans l'édifice

Fonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannThéorème de Schwarz et intégrales à paramètreThéorème de convergence dominéeLa fonction zêta de Riemann et son prolongementSystèmes linéaires et exponentielle de matricesUne série entière est holomorpheTransformée de Fourier des fonctions intégrablesFormule d'inversion de FourierThéorème de PlancherelSuites, séries et parties compactes de ℂLa demi-droite achevée et les sommes positivesDérivabilitéConvergence uniforme et intégrale des fonctions complexesDensité des fonctions en escalier et continuité des translationsAnneaux de polynômesEspaces de Hilbert et théorème de projectionThéorème de représentation de RieszMatrices d'une application linéaireDéterminant d'un endomorphisme
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